V této kapitole se budeme průběžně seznamovat s mocninnými funkcemi. Nejdříve si připomeneme poznatky o mocninách s celým exponentem, které jste získali v předchozím ročníku, pak se soustředíme na odmocniny a na mocniny s racionálním exponentem.
1. Mocninné funkce s přirozeným exponentem
Definice \(a^n\) pro \(n \in N\)
\(\boxed{1}\) Jak je definována mocnina \(a^n\) pro \(n \in N\)? Pro která čísla \(a\) je tato mocnina definována? Jak nazýváme \(a; n\)?
Pro všechna \(a \in R\) a pro všechna \(n \in N\) definujeme
\(a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \dots\cdot a}_{\text{n - krát}}\)
\(a\dots\) základ mocniny (mocněnec)
\(n\dots\) exponent (mocnitel)
\(\boxed{2}\) Pro počítání s mocninami s přirozeným exponentem platí některé důležité věty. Uměli byste doplnit, co v následujícím textu chybí?
Pro všechna reálná čísla \(a,b\) a pro všechna přirozená čísla \(r,s\) je
-
\(a^r\cdot a^s=\dots\)
-
\((a^r)^s=\dots\)
-
\((ab)^r=\dots\)
-
Je-li navíc \(r>s\), pak \(\frac{a^r}{a^s}=\dots\)
Věty
\(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\)
\((a^r)^s=a^{rs}\)
\((ab)^r=a^r\cdot b^r\)
\(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}, r>s\)
Znalost o mocninách s přirozeným exponentem nyní využijeme pro zkoumání mocninných funkcí
\(\mathbf{y=x^n}\quad(n \in N)\)
Dvě z těchto funcí už dobře známe: lineární funci \(y=x^1\) a kvadratickou funkci \(y=x^2\). Podívejme se na další.
\(\boxed{3}\) Vypočítejte hodnoty funkcí \(y=x^3\), \(y=x^4\), \(y=x^5\) v bodech \(-3; -2; -1; -0.5; -0.25; 0; 0.25; 0.5; 1; 2; 3\). (Využijte přitom známé věty o mocninách, např. to, že pro každé \(x \in R\) platí \((x^2)^3=x^6\) apod.)
hodnoty funkcí \(y=x^3\), \(y=x^4\), \(y=x^5\), \(y=x^6\) ve vybraných bodech
| \(\mathbf{x}\) | -3 | -2 | -1 | -0.5 | -0.25 | 0 | 0.25 | 0.5 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\mathbf{x^3}\) |
-27 |
-8 |
-1 |
-0.125 |
-0.016 |
0 |
0.016 |
0.125 |
1 |
8 |
27 |
\(\mathbf{x^4}\) |
81 |
16 |
1 |
0.063 |
0.004 |
0 |
0.004 |
0.063 |
1 |
16 |
81 |
\(\mathbf{x^5}\) |
-243 |
-32 |
-1 |
-0.031 |
-0.001 |
0 |
0.001 |
0.031 |
1 |
32 |
243 |
\(\mathbf{x^6}\) |
729 |
64 |
1 |
0.016 |
0.0003 |
0 |
0.0003 |
0.016 |
1 |
64 |
729 |
\(\boxed{4}\) Grafy všech čtyř sledovaných funkcí jsou nepřerušované čáry. Uměli byste ja na základě této informace a údajů z tabulky zhruba načrtnout? Zkuste z tabulky odhadnout vlastnosti těchto funcí. Které funkce jsou liché či sudé; ve kterých intervalech jsou rostoucí (klesající); mají v některých bodech maximum nebo minimum; které z nich jsou zdola, či zhora omezené?
grafy lichých a sudých mocnin
liché mocniny
|
sudé mocniny
|
Přehled vlastností funkcí \(y=x^n\) pro \(n\in N\)
n - liché |
n - sudé |
|
|
Oborem hodnot je \(R\) |
Oborem hodnot je \((0,+\infty)\) |
Je rostoucí |
Je rostoucí v \((0,+\infty)\) |
Je lichá. |
Je sudá. |
Není ani shora, ani sdola omezená. |
Je zdola omezená, není shora omezená |
Nemá v žádném bodě ani minimum ani maximum. |
V bodě 0 má minimum, v žádném bodě nemá maximum. |
Zájemci mají příležitost dokázat některé z uvedených vět.
Příklady k počítání, domácí úkol č. 24
Úloha 24.1
V továrně na hračky se vyrábějí ze dřeva (s hustotou \(\rho=0.6\quad g\cdot cm^{-3}\)) kostičky ve tvaru krychle.
-
Zapište funkci, která vyjadřuje závislost hmotnosti kostičky na délce \(a\) její hrany a nakreslete její graf.
-
Jaká je hmotnost kostičky při délce hrany 4 cm?
-
Kolikrát se zvětší hmotnost kostičky, zdvojnásobí-li se délka její hrany?
Úloha 24.2
Délky hran kvádru jsou v poměru 1:2:3. Zapište funkci, vyjadřující závislost objemu kvádru na délce jeho nejdelší hrany a nakreslete její graf.
Úloha 24.3
Porovnejte podle velikosti následující čísla (využijte přitom grafy funkcí \(y=x^n\), kde \(n \in N\) ):
-
\((\frac{1}{3})^5\), \((\frac{1}{4})^5\)
-
\((-\frac{1}{3})^5\), \((-\frac{1}{4})^5\)
-
\((-0.025)^6\), \((-0.3)^5\)
-
\(0.7^4\), \((-0.7)^4\)
-
\(0.7^3\), \((-0.7)^3\)
-
\((-1)^5\), \((-1)^6\)
24.4 Načrtněte grafy těchto funkcí
-
\(y=x^3-1\)
-
\(y=(x-1)^5\)
-
\(y=x^4+3\)
-
\(y=-0.5x^6\)
-
\(y=-2x^5\)
-
\(y=\lvert x^3 \rvert\)
| Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv. Kdo chce posílat úkol elektrickou poštou, tak řádně označte předmět zprávy a pošlete odpovědi na otázky, nejenom nějaké Geogebra soubory. U grafů si dejte záležet a udělejte popisky funkcí a vyznačte také definiční obor funkcí. |
2. Mocninné funkce s celým exponentem
\(\boxed{1}\) Jak je definována mocnina \(a^0\)? Pro která reálná čísla \(a\) je tato mocnina definována?
\(\mathbf{a^0=1}\) … pro všechna reálná čísla \(a \ne 0\).
\(\boxed{2}\) Načrtněte graf funkce \(y=x^0\) na množině \(R-{0}\).
Jde o část konstatní funkce \(y=1\) s definičním oborem \((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)
\(\boxed{3}\) Jak je definována mocnina \(a^n\) pro případ, že \(n\) je celé záporné číslo? Pro která \(a\) je tato mocnina definována?
\(\mathbf{a^n=\frac{1}{a^{-n}}}\) … pro každé reálné číslo \(a\ne 0\) a pro celé číslo \(n<0\).
Například: \(5^{-3}=\frac{1}{5^3}\), \((-\sqrt{2})^{-4}=\frac{1}{(-\sqrt{2})^4}\) apod.
\(\boxed{4}\) Pro počítání s mocninami s celým exponentem platí některé důležité věty. Uměli byste doplnit, co v následujícím textu chybí?
Pro všechna reálná čísla \(a,b\) a pro všechna celá čísla \(r,s\) je
-
\(a^r\cdot a^s=\dots\)
-
\((a^r)^s=\dots\)
-
\((ab)^r=\dots\)
-
Je-li navíc \(r>s\), pak \(\frac{a^r}{a^s}=\dots\)
Věty pro mocniny s celým exponentem
-
\(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\)
-
\((a^r)^s=a^{rs}\)
-
\((ab)^r=a^r\cdot b^r\)
-
\(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
Věnujme se nyní krátce mocninným funkcím
\(\mathbf{y=x^n (n \in Z^-)}\)
\(Z^-\) značí množinu všech celých záporných čísel.
to znamená funkcím typu \(y=x^{-1}\), \(y=x^{-2}\), \(y=x^{-3}\) atd.
První z nich, nepřímou úmernost jsem již probrali zde.
Jak získat grafy dalších funkcí? Můžeme to dělat podobně jako u mocninných fukcí výše (1.3), ale raději se spolehneme na GeoGebru, která to udělá za nás.
3. Inverzní funkce
Inverzním funkcím jsem se věnovali minule, teď je budeme potřebovat při úvahách o odmocninách.
Připomeňme, že:
Grafy funkcí \(\mathbf{f}\) a \(\mathbf{f^{-1}}\) sestrojené v téže soustavě souřadnic \(0xy\) se stejnou délkovou jednotkou na obou osách jsou souměrně sdružené podle přímky \(\mathbf{y=x}\)
4. Definice \(n\)-té odmocniny
Nejprve si připomeneme, co je druhá odmocnina z daného čísla.
\(\boxed{1}\) Obsah (plocha) \(S\) čtverce je dán vzorcem \(S=h^2\), kde \(h\) je délka jeho strany.
Vypočítejte délku strany čtverce, je-li a) \(S=36\ cm^2\) b) \(S=15.2\ cm^2\).
Výsledky
a) \(h = \sqrt{36}\ cm = 6\ cm\)
b) \(h = \sqrt{15.2}\ cm \approx 3.9\ cm\)
\(\boxed{2}\)
-
Pro která z čísel \(5\); \(0.765\); \(-3\); \(10^5\); \(-8\) je definována jejich druhá odmocnina?
-
Které z výroků \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=-3\) jsou pravdivé.
Výsledky
-
Pouze pro: \(5\); \(0.765\); \(10^5\)
-
Pouze pro: \(\sqrt{4}=2\)
Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla \(a \in R\) je takové reálné číslo \(b \in R\), pro něž platí \(b^2=a\).
Píšeme \(\mathbf{b=\sqrt{a}}\)
Druhé odmocniny z nezáporných čísel můžeme pohodlně vypočítávát pomocí kapesních kalkulátorů. K jejich přibližnému určení lze užít také graf funkce \(y=x^2\). Z tohoto grafu např. zjistíme, čemu se rovná odmocnina z čísla \(3.3\)
Hledáme všechna nezáporná čísla \(x\), pro která platí
\(x^2=3.3\)
Dostáváme \(x_1=\sqrt{3.3} \approx 1.82\)
Pokud bychom rovnici řešili v reálných číslech \(R\) a nikoli pouze v \(R^+ \cup \{0\}\), získali bychom navíc ještě jedno řešení: \(x_2 \approx -1.82\).
toto číslo ovšem není druhou odmocninou z čísla \(3.3\); platí \(x_2=-\sqrt{3.3}\)
Zvolíme-li jakékoliv \(a\) z oboru hodnot funkce \(y=x^2\), tj. libovolné nezáporné číslo, pak existuje právě jedno nezáporné číslo \(b\) z definičního oboru této funkce, pro něž \(b^2=a\) čili \(b=\sqrt{a}\).
Ke každému nezápornému číslu existuje jednoznačně určená jeho druhá odmocnina.
Tento závěr plyne z toho, že funkce \(y=x^2\) je v intervalu \(\langle 0,\infty)\) prostá a nabývá všech hodnot z množiny \(\langle 0,\infty)\).
Třetí odmocnina
\(\boxed{3}\) Objem \(V\) krychle je dán vzorcem \(V=h^3\), kde \(h\) je délka její hrany.
Vypočítejte délku hrany krychle, je-li a) \(V=27\ cm^3\), b) \(V=227\ cm^3\).
a) Hrana krychle je \(h=\sqrt[3]{27}\ cm = 3\ cm\).
b) Hrana krychle je \(h=\sqrt[3]{227}\ cm \approx 6.1\ cm\).
Funkce \(y=x^3\) je v intervalu \(\langle 0, \infty)\) prostá a nabývá v tomto intervalu všech hodnot z množiny \(\langle 0, \infty)\).
Z toho plyne: Je-li \(a\) libovolné nezáporné číslo, pak existuje právě jedno nezáporné číslo \(b\) takové, že \(b^3=a\).
Nezáporné číslo \(b\) nazýváme třetí odmocnina z nezáporného čísla stem[a]; píšeme \(b=\sqrt[3]{a}\).
n-tá odmocnina
Dá se dokázat, že platí:
Ke každému přirozenému číslu \(n\) a ke každému nezápornému reálnému číslu \(a\) existuje právě jedno nezáporné číslo \(b\) takové, že \(b^n=a\).
(Promyslete si toto tvrzení — vezměte si na pomoc částí grafů funkcí \(y=x^n\) pro \(x\in \langle 0, \infty)\) mocnine_funkce_4_p6.ggb).
Číslo \(b\), o němž zde hovoříme, se nazývá n-tá odmocnina z čísla \(a\).
Pro každé \(n\in N\) je n-tá odmocnina z nezáporného čísla \(\mathbf{a}\) takové nezáporné číslo \(\mathbf{b}\), pro něž platí \(\mathbf{b^n=a}\).
Budeme zapisovat
\(\mathbf{b=\sqrt[n]{a}}\)
Číslo \(n\) se nazývá odmocnitel (exponent mocniny), číslo \(a\) se nazývá odmocněnec (základ mocniny).
Je-li \(n=2\), budeme stručněji, v souladu s dříve zavedeným označením, místo \(\sqrt[2]{a}\) psát pouze \(\sqrt{a}\).
\(\boxed{4}\) Nakreslete v soustavě souřadnic \(0xy\) grafy funkcí \(y=\sqrt{x}\) a \(y=\sqrt[3]{x}\).
Využijte grafy funkcí \(y=x^2, x\in \langle 0, \infty)\) a \(y=x^3, x\in \langle 0, \infty)\).
Funkce \(y=\sqrt{x}\) je inverzní k funkci \(y=x^2, x\in \langle 0, \infty)\).
Funkce \(y=\sqrt[3]{x}\) je inverzní k funkci \(y=x^3, x\in \langle 0, \infty)\)
Pokud budeme kreslit ručně na papíře použijeme větu, že graf inverzní funkce je souměrně sdružený s původní funkcí podle přímky y=x. S GeoGebrou je to hračka, použijeme příkaz NInvertovat(<původní funkce>).
|
Vraťme se ještě ke grafům funkcí \(y=x^n\), kde \(n\) je přirozené číslo. Pro lichá čísla \(n\) jsou funkce \(y=x^n\) prosté. To znamená, že ke každému reálnému číslu \(a\) existuje právě jedno reálné číslo \(b\) takové, že \(b^n=a\). Tento fakt můžeme ilustrovat například na grafu funkce \(y=x^3\).  .Pokud upustíme od požadavku, že n-tou odmocninu zavádíme jen pro nezáporná čísla, můžeme pro lichá čísla \(n\) rozšířit definici n-té odmocniny takto: Pro každé liché přirozené číslo \(n\) je n-tá odmocnina z reálného čísla \(a\) takové reálné číslo \(b\), pro něž platí \(b^n=a\). Převezmeme-li zápis \(\sqrt[n]{a}=b\), bude např. \(\sqrt[3]{-8}=-2\), \(\sqrt[5]{-243}=-3\) atd. |
Příklad 4.1
Zapište pomocí intervalů definiční obor funkce
\(y=\sqrt{\frac{x+3}{x+2}}\)
Řešení:
Do definičního oboru dané funkce patří všechna \(x\in R\), pro která má výraz \(\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}\) smysl.
-
Nelze dělit nulou: pro \(x=2\) bychom ve zlomku dělili nulou a proto \(x=2\) musíme vyloučit.
-
Podle definice druhé odmocniny jde o všechna taková \(x\in R\), pro něž je výraz \(\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}\) nezáporné číslo.
| \(x+3\) | \(x-2\) | \(\frac{x+3}{x-2}\) |
|---|---|---|
\(>=0\) → \(x>=-3\) |
\(>0\) → \(x>2\) |
\(>=0\) (dělíme nezáporné číslo kladným číslem) \(x>2\) |
\(>=0\) |
\(<0\) |
\(<0\) (dělíme nezáporné číslo záporným číslem) |
\(<0\) |
\(>0\) |
\(<0\) (dělíme záporné číslo kladným číslem) |
\(<=0\) → \(x<=-3\) |
\(<0\) → \(x<2\) |
\(>=0\) (dělíme záporné číslo záporným číslem) \(x<=-3\) |
Definičním oborem funkce \(y=\sqrt{\frac{x+3}{x-2}}\) je tedy sjednocení intervalů \((-\infty,-3\rangle \cup (2,\infty)\).
Vypadá to, že jsme definiční obor stanovili dobře.
Domácí úkol č. 25
Příklad 25.1
V továrně na hračky se vyrábějí ze dřeva (s hustotou \(\rho = 0.6\ g\cdot cm^{-3}\)) kostky ve tvaru krychle.
-
Zapište funkci, která vyjadřuje závislost hmotnosti \(m\) kostky v gramech na délce její hrany, a načtrtněte její graf.
-
Jaká bude hmotnost kostky při délce hrany \(4\ cm\)?
-
Kolikrát se zvětší hmotnost kostky, zdvojnásobí-li se délka její hrany?
-
Zapište funkci, udávající závislost délky hrany na její hmotnosti.
-
Využijte získanou funkci k řešení tohoto úkolu: Bylo rozhodnuto, že krychlové kostky pro stavebnici, určenou nejmenším dětem, mohou mít maximální hmotnost 100 g. Jaká může být největší délka jejich hrany?
Příklad 25.2
Vypočítejte zpaměti, bez kalkulačky:
\(\sqrt{9}\), \(\sqrt[3]{27}\), \(\sqrt{36}\), \(\sqrt[3]{8}\), \(\sqrt[6]{64}\), \(\sqrt[5]{32}\), \(\sqrt[10]{0}\), \(\sqrt[6]{1}\), \(\sqrt{2.25}\), \(\sqrt{0.04}\), \(\sqrt{0.25}\), \(\sqrt[3]{0.001}\).
Příklad 25.3
Zapište definiční obory následujích funkcí pomocí intervalů:
-
\(f:\quad y=\sqrt{x-3}\)
-
\(g:\quad y=\sqrt[3]{5-2x}\)
-
\(h:\quad y=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-3}\)
-
\(i:\quad y=\frac{\sqrt[3]{x}}{x}\)
-
\(j:\quad y=\sqrt[4]{x^2-1}\)
-
\(k:\quad y=\sqrt{\frac{4-x}{x-2}}\)
5. Počítání s odmocninami
Jak na odmocniny na kalkulačce
Použil jsem kalkulačku CASIO fx-991ES PLUS (stála asi 500 Kč), na ostatních kalkulačkách to bude podobné.
Uvedeme několik vět pro počítání s odmocninami a ukážeme si jejich použití na příkladech.
Pro všechna nezáporná reálná čísla \(a, b\) a pro každé přirozené číslo \(n\) platí:
\(\mathbf{\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}}\)
Tuto větu si dokážeme, důkazy dalších vět si můžete provést sami.
Označíme \(\sqrt[n]{a}\) písmenkem \(s\) a \(\sqrt[n]{b}\) písmenkem \(t\). Zřejmě je \(s\ge 0\) a \(r \ge 0\). Podle definice n-té odmocniny je \(a=s^n\) a \(b=t^n\); odtud dále plyne, že:
čísla \(a, b\) jsou nezáporná, tedy i součin \(a\cdot b\) je nezáporné číslo, a existuje tudíž jednoznačně určené nezáporné číslo, jež je jeho n-tou odmocninou. Uvědomíme-li si, že \(s\cdot t\ge0\), pak z (1) ihned dostáváme
neboli
Tím je důkaz proveden \(\square\).
Uvedenou větu lze zobecnit takto:
Pro všechna přirozená čísla \(n,r\) a nezáporná reálná čísla \(a_1,a_2,\dots,a_n\) je
\(\mathbf{\sqrt[n]{a_1}\cdot\sqrt[n]{a_2}\dots\cdot\sqrt[n]{a_r}=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\dots\cdot a_r}}\)
Například: \(\sqrt[5]{2}\cdot\sqrt[5]{3}\cdot\sqrt[5]{4}=\sqrt[5]{2\cdot 3\cdot 4}=\sqrt[5]{24}\)
Pro každé nezáporné reálné číslo \(a\), pro každé nezáporné reálné číslo \(b\) a každé přirozené číslo \(n\) platí:
\(\mathbf{\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}\)
Například: \(\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{16}{4}}=\sqrt[3]{4}\), \(\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\).
Pro každé celé číslo \(s\), každé kladné reálné číslo \(a\) a pro každé přirozené číslo \(n\) platí:
\(\mathbf{(\sqrt[n]{a})^s=\sqrt[n]{a^s}}\)
Například: \((\sqrt[12]{5})^{-3}=\sqrt[12]{5^{-3}}=\sqrt[12]{\frac{1}{125}}\).
Je-li \(s\) přirozené číslo, pak tato věta platí i pro \(a=0\), tj. pro všechna nezáporná čísla \(a\).
Je-li speciálně \(s \in N, s=n\), pak pro každé nezáporné číslo \(a\) dostáváme:
\((\sqrt[n]{a})^n=\sqrt[n]{a^n}=a\).
Například: \((\sqrt[4]{8.1})^4=\sqrt[4]{8.1^4}=8.1\)
Pro všechna přirozená čísla \(m,n\) a pro každé nezáporné reálné číslo \(a\) platí:
\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
Například: \(\sqrt[3]{\sqrt{8}}=\sqrt{\sqrt[3]{8}}=\sqrt[6]{8}\).
Pro všechna přirozená čísla \(m,n,p\) a pro každé nezáporné reálné číslo \(a\) platí:
\(\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}\)
Například: \(\sqrt[9]{2^6}=\sqrt[3\cdot 3]{2^{2\cdot 3}}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}\).
Příklad 5.1
Vypočtěte \(\sqrt[4]{0.0081}\).
Řešení:
\(\sqrt[4]{0.0081}=\sqrt[4]{81\cdot 10^{-4}}=\sqrt[4]{3^4}\cdot \sqrt[4]{(10^{-1})^4}=3\cdot 10^{-1}=0.3\)
Příklad 5.2
Zjistěte, pro která \(a\in R\) je definována sedmá odmocnina z \(a^{19}\), a pak proveďte její částečné odmocnění.
Řešení
Odmocnina je definována pro každé \(a\ge 0\).
\(\sqrt[7]{a^{19}}=\sqrt[7]{a^{14}}\cdot\sqrt[7]{a^5}=\sqrt[7]{(a^2)^7}\cdot\sqrt[7]{a^5}=a^2\cdot\sqrt[7]{a^5}\)
Příklad 5.3
Vyjádřete součin \(\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[4]{a^3}\cdot\sqrt[6]{a^3}\) ve tvaru jedné odmocniny.
Řešení
Každou ze tří odmocnin zapíšeme ve tvaru odmocniny s odmocnitelem 12 (nejmenší společný násobek čísel 3, 4 a 6).
Pak je
Příklad 5.4
Pomocí jedné odmocniny vyjádřete \(\sqrt{\frac{c}{d}\cdot \sqrt[3]{\frac{d}{c}}}\).
Řešení
Příklady k počítání (Domácí úkol č. 26)
Příklad 26.1
Vypočítejte (bez kalkulačky; kalkulačkou si potom udělejte zkoušku)
-
\(\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=\)
-
\(\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}=\)
-
\(\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}=\)
-
\(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}=\)
-
\(\frac{\sqrt[3]{500}}{\sqrt[3]{4}}\)
-
\(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\)
Příklad 26.2
Určete, pro která \(x\in R\) jsou definovány dané odmocniny, a pak je upravte (zjednodušte) obdobně jako v příkladu 26.1.
-
\(\sqrt[4]{x^5}=\)
-
\(\sqrt[4]{x^9}=\)
-
\(\sqrt[11]{x^{45}}=\)
-
\(\sqrt[3]{x^8}\cdot\sqrt[5]{x^3}=\)
Příklad 26.3
Částečně odmocněte:
-
\(\sqrt{12}=\)
-
\(\sqrt{50}=\)
-
\(\sqrt[3]{54}\)
-
\(\sqrt[3]{\frac{3}{8}}=\)
-
\(\sqrt{2\frac{7}{9}}=\)
-
\(\sqrt[4]{128}=\)
-
\(\sqrt[3]{21000}=\)
-
\(\sqrt[4]{0.012}=\)
Příklad 26.4
Vypočítejte:
-
\(\sqrt[3]{1.4}\cdot\sqrt[3]{10000}\cdot\sqrt[3]{0.196}=\)
-
\((5\cdot\sqrt[3]{40}-10\cdot\sqrt[3]{5})\cdot 0.5\cdot\sqrt[3]{25}\)
Doporučení
Je dobré zi zapamatovat některé druhé a třetí mocniny přirozených čísel. Na některých kalkulačkách a v programovacích jazycích se druhá mocnina obvykle píše x^2, třetí mocnina x^3. Pokud nelze nalézt na kalkulačce třetí odmocninu, tak ji lze spočítat třeba takto: 5.8^(1/3) (třetí odmocnina z čísla 5.8). Podobně čtvrtou odmocninu z 8.9 takto: 8.9^(1/4) a vyjde 1,727219378 (Tento postup je možné aplikovat jenom pro odmocniny z KLADNÝCH čísel, viz kapitolu níže.)
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(n^2\) |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
121 |
144 |
169 |
196 |
225 |
256 |
289 |
324 |
361 |
400 |
\(n^3\) |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
1000 |
1331 |
1728 |
2197 |
2744 |
3375 |
4096 |
4913 |
5832 |
6859 |
8000 |
\(n^4\) |
16 |
81 |
256 |
625 |
1296 |
2401 |
4096 |
6561 |
10000 |
14641 |
20736 |
28561 |
38416 |
50625 |
65536 |
83521 |
104976 |
130231 |
160000 |
6. Mocniny s racionálním exponentem
V předchozím článku 2. jsme si připomněli definici mocniny s celým exponentem. Nyní rozšíříme pojem mocniny na případ, kdy exponent bude libovolné racionální číslo.
Víme, že každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru zlomku \(\frac{m}{n}\), kde \(m\) je celé číslo a \(n\) je přirozené číslo.
Nyní jde o to, jaký smysl dát symbolu \(\mathbf{a^{\frac{m}{n}}}\).
Začněme příkladem: Zvolíme libovolné kladné reálné číslo \(a\) a uvažujme \(\sqrt[4]{a^{-20}}\). Podle vět o odmocninách a mocninách s celým exponentem můžeme tuto odmocninu upravit následujíjím způsobem:
\(\sqrt[4]{a^{-20}} = \sqrt[4]{(a^{-5})^4} = (\sqrt[4]{a^{-5}})^4 = a^{-5}\)
lze tedy také psát
\(\sqrt[4]{a^{-20}}=a^{-5}=a^{-\frac{20}{4}}\).
\(\boxed{1}\) Prověřte obdobným způsobem, že pro každé \(\mathbf{a>0}\) platí:
\(\sqrt[3]{a^9}=a^{\frac{9}{3}}\), \(\sqrt[6]{a^{-36}}=a^{-\frac{36}{6}}\)
\(\sqrt[3]{a^9}=\sqrt[3]{(a^3)^3}=a^3=a^{\frac{9}{3}}\), \(\sqrt[6]{a^{-36}}=\sqrt[6]{(a^{-6})^6}=a^{-6}=a^{-\frac{36}{6}}\)
Zvolíme-li libovolný zlomek \(\frac{m}{n}\), v němž je \(n\) přirozené číslo a \(m=k\cdot n\), kde \(k\) je celé číslo.
Pro každé kladné reálné číslo \(\mathbf{a}\) pak platí:
To nás vede k myšlence zavést \(a^{\frac{m}{n}}\) jako \(\sqrt[n]{a^m}\) pro každé racionální číslo \(\frac{m}{n}\) a pro každé \(a>0\).
Dříve však, než tuto definici přijmeme, prověříme, že je v souladu s již definovanou mocninou s celým exponentem. Jinak řečeno, pro každé celé číslo \(k\) musí platit \(a^{\frac{k}{1}}=a^k\). Ale to podle definice, kterou navrhujeme, skutečně splněno je:
Dále si uvědomme, že každé racionální číslo lze zapsat ve tvaru zlomku nekonečně mnoha způsoby. Přirozeně bychom chtěli, aby pro libovolné racionální číslo \(r\) byla mocnina \(a^r\) určena jednoznačně, nezávisle na tom, jaký zlomek pro vyjádření čísla \(r\) zvolíme.
Prověříme z tohoto hlediska navrhovanou definici. Předpokládejme, že \(\frac{m}{n}\) je jeden, libovolně zvolený zápis čísla \(r\), ve kterém je \(n>0\).
Dále nechť \(\frac{p}{q}\) je zlomek v základním tvaru, v němž \(q>0\) a který též vyjadřuje racionální číslo \(r\).
Pak je \(m=kp\), \(n=kq\), kde \(k\) je přirozené číslo.
Odtud dostáváme
Přijmeme tedy již bez obav navrženou definici.
Pro každé kladné reálné číslo \(a>0\), pro každé celé číslo \(m\) a pro každé přirozené číslo \(n\) je
\(\mathbf{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{a^m}\)
Číslo \(a\) budeme nazývat základ mocniny neboli mocněnec,
číslo \(\frac{m}{n}\) se nazývá exponent čili mocnitel.
Pro počítání s mocninami, jejichž exponent je racionální číslo, platí stejná pravidla jako pro mocniny s exponentem celým.
Pro všechna kladná reálná čísla \(a,b\) a pro všechna racionální čísla \(r,s\) je:
\(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\)
\((a^r)^s=a^{rs}\)
\(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
\((ab)^r=a^r\cdot b^r\)
Důkaz věty 6.1
Čísla \(r,s\) jsou racionální a můžeme je tedy psát ve tvaru zlomku se stejným jmenovatelem \(r=\frac{m}{n}\), \(s=\frac{p}{n}\), přitom \(m,n \in Z\) jsou celá čísla, a \(n\in N\) je přirozené číslo. Podle definice mocniny s racionálním exponentem je:
a z toho plyne
Tím je důkaz věty 6.1 proveden. \(\boxed{}\)
Kdo chce maturovat z matematiky, tak si doma provede důkazy vět zbývajících.
7. Mocniny s iracionálním exponentem
S mocninami s iracionálním exponentem se seznámíme pouze informativně, jde většinou o záležitosti, které jsou nad naše síly.
Nejprve si zopakujeme některé poznatky o iracionálních číslech. Iracionální číslo je takové číslo, které nemůžeme vyjádřit pomocí zlomku. A přesto taková čísla existují.
Iracionální číslo \(\sqrt{2}\) můžeme vyjádřit přibližně jednak čísly menšími se známým ukončeným desetinným rozvojem, a druhak čísly většími; hovoříme o dolním a horním odhadu nebo o dolní a horní aproximaci \(\sqrt{2}\). Můžeme získat tyto údaje:
\(\sqrt{2}\) lze získat jako číslo určené nekonečným desetinným rozvojem:
můžeme u něho postupně určit číslice na libovolném předepsaném desetinném místě.
Naznačíme nyní, jak postupujeme při definování mocniny kladného reálného čísla, jejímž exponentem je iracionální číslo. Pro ilustraci uvedeme příklad \(2^{\sqrt{2}}\). Při výpočtu aproximací tohoto čísla si musíme uvědomit, že i pro čísla \(2^{1.4}, 2^{1.5}\) atd. musíme vzít přibližné hodnoty. Abychom měli zaručeno, že napsané nerovnosti jsou správné, musíme např. u čísla \(2^{1.4}\) nalézt jeho dolní aproximaci a u čísla \(2^{1.5}\) jeho horní aproximaci.
Odtud je již patrné, že bude
\(2^{\sqrt{2}}=2.66\dots\)
Na základě dalších výpočtů bychom zjistili, že přesněji je
\(2^{\sqrt{2}}=2.6651441\dots\)
Obdobné výpočty lze provést při určování mocniny \(a^p\) pro libovolné kladné reálné číslo a pro každé iracionální číslo \(p\).
Lze dokázat, že pro počítání s mocninami s iracionálním exponentem platí stejná pravidla jako pro mocniny s exponentem racionálním. Můžeme už tedy tato pravidla formulovat souhrnně pro mocniny, jejichž exponent je libovolné reálné číslo.
Pro všechna kladná reálná čísla \(a,b\) a pro všechna reálná čísla \(r,s\) je:
\(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\)
\((a^r)^s=a^{rs}\)
\(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\)
\((ab)^r=a^r\cdot b^r\)
Na závěr
Posuďme následující výpočet:
\(-1=(-1)^3=(-1)^{\frac{6}{2}}=\sqrt{(-1)^6}=\sqrt{1}=1\)
Je to špatně. Otázka je, kde je to špatně?
video: Jak napálit matfyzáka (MFF-FPF 14.12.2017) čas 27:01