Nepřímá úměrnost

Vyměřují se parcely pro rodinné domky. Všechny parcely budou mít tvar pravoúhelníku, výměra každé z nich má být 600 \$m^2\$.

Příklad 14.1

Délka vyměřované parcely je 27 m. Jaká musí být její šířka?

\$S=a*b\$
\$600=27*b\$
\$b=frac{600}{27} \approx 22.2\$. Šířka parcely je přibližně 22.2 m.

Příklad 14.2

Zapište funkci, která udává závislost velikosti jedné strany parcely o výměře 600 \$m^2\$ na velikosti strany s ní sousední. Předpokládejte přitom, že každá ze stran parcely má mít velikost aspoň 15 metrů.

Řešení

Jsou-li velikosti stran parcely \$x\$ metrů a \$y\$ metrů, pak platí

\$x*y=600\$

čili

\$y=frac{600}{x}\$.

Požadujeme, aby bylo \$x\ge 15\$ a zároveň \$y\ge 15\$. Pro \$y=15\$ je \$x=frac{600}{15}=40\$, a tedy pro \$y\ge 15\$ je \$x\le 40\$. Hledaná funkce má tedy tvar

\$\mathbf{y=frac{600}{x}, x \in \langle 15, 40\rangle }\$.

graf funkce \$y=frac{600}{x}, x \in \langle 15, 40\rangle\$

p14.2

Příklad 14.3

Velikost jedné strany parcely o výměře 600 \$m^2\$ je a) 20 metrů; b) 25 metrů; c) 32 metrů.
Využijte získanou funkci k určení velikosti strany s ní sousední.

Řešení

a) \$y=frac{600}{20}=30\$ b) \$y=frac{600}{25}=24\$ c) \$y=frac{600}{32}=18.75\$

parcely
Figure 1. nákres parcel

Příklad 14.4

Délka parcely je 25 metrů, délka druhé parcely je 37.5 metru, tj. 1.5krát větší.
Co lze říci o vzájemném poměru šířek těchto parcel?

Řešení

Šířka první parcely je \$y=frac{600}{25}=24\$ m, šířka druhé parcely je \$y=frac{600}{37.5}=16\$ m. Poměr šířek \$frac{25}{37.5}=1.5\$
Šířka druhé parcely je 1.5krát menší než šířka první parcely.

Kolikrát se zvětší velikost jedné trany parcely s danou výměrou, tolikrát se zmenší velikost trany druhé. Říkáme, že velikost jedné strany je nepřímo úměrná velikosti druhé strany.
Funkce \$y=frac{600}{x}, x \in \langle 15, 40 \rangle\$ je částí funkce nazývané nepřímá úměrnost.

Nepřímá úměrnost je každá funkce na množine \$\mathbf{R-{0}}\$ daná ve tvaru
\$\mathbf{y=frac{k}{x}}\$,
kde \$\mathbf{k}\$ je reálné číslo různé od nuly.

Grafy nepřímé úměrnosti

Začněme funkcí \$y=frac{1}{x}, x \in (0, \infty)\$, která je částí nepřímé úměrnosti.

Příklad 14.5

Určete hodnoty funkce \$y=frac{1}{x}, x \in (0, \infty)\$ v bodech \$0.1; 0.25; 0.5; 1; 2; 4; 10\$. Výsledky sestavte do tabulky a obrazy příslušných dvojic zakreslete do soustavy souřadnic \$0xy\$.

x 0.1 0.25 0.5 1 2 4 10

\$frac{1}{x}\$

10

4

2

1

0.5

0.25

0.1

vynesené body do soustavy souřadnic

graf funkce \$y=frac{1}{x}, x \in (0, \infty)\$

neprima umera p14.5

neprima umera p14.5.b

Příklad 14.6

Uměli byste podle grafu funkce \$f: y=frac{1}{x}, x \in (0, \infty)\$ sestrojit graf funkce \$g: y=frac{1}{x}, x \in (-\infty, 0)\$ a potom graf funkce \$h: y=frac{1}{x}, x \in R\$.

Budeme postupovat podobně jako v příkladu 14.5. Sestavíme si tabulku v bodech \$-0.1; -0.25; -0.5; -1; -2; -4; -10\$. Obrazy příslušných dvojic zakreslete do soustavy souřadnic \$0xy\$.

x -10 -4 -2 -1 -0.5 -0.25 -0.1

\$frac{1}{x}\$

-0.1

-0.25

-0.5

-1

-2

-4

-10

vynesené body do soustavy souřadnic

graf funkce \$g: y=frac{1}{x}, x \in (-\infty,0)\$

neprima umera p14.6

neprima umera p14.6.b

Graf funkce \$h\$ nám vznikne jako kombinace grafu funkcí \$f\$ a \$g\$.

Vidíme, že pro funkce \$f,g,h\$ platí:

  • Pro každé \$x \in D_f\$ je také \$-x \in D_g\$ a pro každé \$x \in D_h\$ je také \$-x \in D_h\$

  • Pro každé \$x \in D_h\$ je \$h(-x)=-h(x)\$, vidíme lichou funkci.

Např. pro \$h(-0.25)=frac{1}{-0.25}=-frac{1}{0.25}=-h(0.25)\$.

graf funkce \$h: y=frac{1}{x} x \in R - {0}\$ složený ze dvou grafů funkcí f a g

neprima umera p14.6.h

Funkce \$h: y=frac{1}{x}, x\in R\$ je tedy lichá, část jejího grafu pro \$x\in(-\infty,0)\$ je obrazem grafu funkce \$f: y=frac{1}{x}, x\in(0,\infty)\$ ve středové souměrnosti podle počátku soustavy souřadnic \$0xy\$.

Příklad 14.7

Zkuste sestrojit graf funkce \$t: y=frac{k}{x}, x\in R - {0}\$, kde parametr \$k \in R - {0}\$. Využijeme poznatku, že funkční hodnotu funkce \$t(x)\$ dostaneme tak, že funkční hodnotu funkce \$f(x)=frac{1}{x}\$ vynásobíme parametrem \$k\$.

\$t(x)=k*f(x)\$

Výsledky vidíme v skriptu Geogebry zde (hodnoty k jsou od -100 do 100, 0 samozřejmě přeskočíme), na papíře grafy mastit nebudeme.

Graf funkce \$mathbf{y=frac{k}{x}}\$ je křivka, která se nazývá rovnoosá hyperbola.

Domácí úkol č. 21

Příklad 21.1: Udělejte si přehlednou tabulku s vlastnostmi a grafy funkce \$t: y=frac{k}{x}, x\in R - {0}\$, kde parametr \$k \in R - {0}\$. Zajímavé je hlavně to, jak bude funkce vypadat a jaké bude mí vlastnosti pro \$k>0\$ a \$k<0\$, zda bude rostoucí nebo klesající, omezená a zda bude mít maximum nebo minumum.

Příklad 21.2: Obdélníková pracela o rozměrech 25 metrů a 17 metrů má být směněna za jinou parcelu obdélníkového tvaru, která bude mít stejnou výměru, ale její šířka bude 12 metrů. Jakou délku bude mít nová parcela?

Příklad 21.3: Vzdálenost mezi Prahou a Hradcem Králové je 118 km. Najděte funkci, která udává, jak závisí doba jízdy auta z Prahy do Hradce na jeho průměrné rychlosti. Předpokládejte, že minimální průměrná rychlost jízdy je \$30 km*h^{-1}\$ a maximální průměrná rychlost je \$80 km*h^{-1}\$. Sestrojte graf této funkce. Určete přibližnou dobu jízdy z Prahy do Hradce pro průměrné rychlosti \$40 km*h^{-1}\$ a \$55 km*h^{-1}\$.

Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv.

Lineární lomená funkce

Ukážeme si na dvou příkladech, jak lze využít grafy funkcí nepřímé úměrnosti, k sestrojování grafů některých dalších funkcí.

Příklad 14.8

Sestrojte graf funkce \$f: y=frac{-3+2x}{x}\$, definované na možině \$R-{0}\$.

Řešení

Výraz na pravé straně funkčního zápisu upravíme takto:

\$frac{-3+2x}{x}=-frac{3}{x}+frac{2x}{x}=-frac{3}{x}+2\$

Graf funkce \$f\$ získáme z grafu funkce \$f_1: y=-frac{3}{x}\$, a to posunutím o dvě jednotky ve směru kladné poloosy \$y\$ (nahoru). Viz obrázek.

align-center

Příklad 14.9

Sestrojte graf funkce \$g: y=frac{x+1}{x-2}\$, definované na množině \$R-{2}\$.

Řešení

Nejdříve upravíme výraz \$frac{x+1}{x-2}\$ tak, abychom mohli užít poznatky o grafu nepřímé úměrnosti.
Vydělíme dvojčlen \$x+1\$ dvojčlenem \$x-2\$:

\[\begin{aligned} (x+&1) : (x-2) = 1 \\ -x+&2 \\ \hline &3 \end{aligned}\]

Je tedy \$frac{x+1}{x-2}=1+frac{3}{x-2}\$, a funkci \$g\$ můžeme vyjádřit ve tvaru

\$g: y=1+frac{3}{x-2}\$

Nyní postupně sestrojíme graf funkce

\$g_1: y=frac{3}{x}\$ definované na \$R-{0}\$

a graf funkce

\$g_2: y=frac{3}{x-2}\$ definované na \$R-{2}\$.

Graf funkce \$g_2\$ získáme z grafu funkce \$g_1\$ pomocí posunutí o dvě jednotky ve směru kladné poloosy \$x\$.
Graf funkce \$g\$ dostaneme z grafu funkce \$g_2\$ posunutím o jednu jednotku ve směru kladné poloosy \$y\$. Viz obrázek.

linearni lomena funkce p14.9

Kdo neumí dělit mnohočleny, může se podívat na Matematiku polopatě

Lineární lomená funkce je každá funkce na množině \$R-{-frac{d}{c}}\$, vyjádřená ve tvaru

\$\mathbf{y=frac{ax+b}{cx+d}}\$

kde \$a,b,c,d\$ jsou reálná čísla, \$\mathbf{c \ne 0}\$ a \$\mathbf{ad-bc \ne 0}\$.

Pro \$x=-frac{d}{c}\$ je \$cx+d=0\$ a výraz \$frac{ax+b}{cx+d}\$ nemá význam.

Vzniká otázka, proč v definici lineární lomené funkce požadujeme, aby \$c \ne 0\$ a \$ad-bc \ne 0\$. Dá se dokázat, že funkce \$y=frac{ax+b}{cx+d}\$ je pro \$c=0\$ lineární funkcí a pro případ \$ad-bc=0\$ jde o část konstatní funkce. Tyto funkce mezi lineární lomené nezařazujeme. (Doporučujeme vaší pozornosti úlohu 14.10.)

Grafem každé lineární lomené funkce je hyperbola, kterou získáme z grafu funkce \$y=frac{k}{x}\$ pomocí posunutí.

Funkce \$f\$ a \$g\$ z príkladů 14.8 a 14.9 jsou skutečné lineární lomené funkce:
Pro funkci \$f\$ je \$a=2\$, \$b=-3\$, \$c=1\$ (a tedy \$c\ne 0\$), \$d=0\$; \$ad-bc=3\$.
Pro funkci \$g\$ je \$a=1\$, \$b=1\$, \$c=1\$ (a tedy \$c\ne 0\$), \$d=-2\$; \$ad-bc=-3\$.

Úloha 14.10

Načrtněte grafy těchto funkcí:

a) \$y=frac{2x+5}{3}\$

Upravíme vztah \$frac{2x+5}{3}=frac{2}{3}*x+frac{5}{3}\$ a vidíme lineární funkci.

lineární funkce

Tady máme ve funkci \$y=frac{ax+b}{cx+d}\$, \$c=0\$.

b) \$y=frac{2x-4}{-x+2}\$

Upravíme vztah \$frac{2x-4}{-x+2}=frac{-2(-x+2)}{-x+2}=-2*frac{-x+2}{-x+2}=-2\$ a vidíme konstantní funkci.

konstantní funkce

Tady máme ve funkci \$y=frac{ax+b}{cx+d}\$, \$a=2;b=-4;c=-1;d=2\$, \$ad-bc=2*2-(-4)*(-1)=4-4=0\$

Racionální a polynomické funkce

Většina funkcí, které jsme dosud vyšetřovali, patří mezi tzv. funkce racionální.

align-left

Racionální funkce je každá funkce daná ve tvaru

\[\tag{1} \mathbf{y=\dfrac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_1x+b_0}},\]

kde \$m,n\$ jsou celá nezáporná čísla, \$a_m,...,a_0, b_n,...,b_0\$ jsou reálná čísla, \$b_n \ne 0\$.
Tyto funkce jsou definovány na množině všech reálných čísel \$x \in R\$, jež nejsou kořeny rovnice

\$b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x^1+b_0=0\$

Speciálním případem racionálních funkcí jsou polynomické funkce; jsou dány ve tvaru (1), v němž je \$b_n=b_{n-1}=...=b_1=0, b_0=1\$.

Jde tedy o funkce

\$y=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}\+...\+a_1x+a_0\$.

Definičním oborem každé polynomické funkce je množina \$R\$.

Funkce lineární a kvadratické jsou příklady polynomických funkcí; funkce nepřímá úměrnost je příkladem racionální funkce, která není polynomická.

Pro ilustraci uvádíme ještě dva příklady racionálních funkcí.

Kreslit tyto grafy na papíře ručně je šílenství, s GeoGebrou je to hračka.

Příklad 14.11

Na obrázku je graf polynomické funkce \$f: y=x^4-6x^2+8x-3\$.

align-center

Zde je k tomu Geogebra soubor: linearni_lomena_funkce_p14.11.ggb

Příklad 14.12

Na obrázku je graf racionální funkce \$g: y=frac{x^3}{x^2-1}\$, která není polynomická. Definiční obor funkce \$D_g = R - {-1; 1}\$, bodech \$x=-1\$ a \$x=1\$ je výraz \$x^2-1=0\$ a nulou dělit nelze.

align-center

Zde je k tomu Geogebra soubor: linearni_lomena_funkce_p14.12.ggb

V GeoGebře je nutné při definici funkce výrazy nad zlomkovou čarou a pod zlomkovou čarou uzavírat do závorek.
Třeba takto: g(x)=(x^3)/(x^2-1).
Napíšete-li to takto: h(x)=x^3/x^2-1, dostanete jinou funkci a špatný graf.

align-center

Domácí úkol č. 22

Úloha 22.1

Obsah pravoúhlého trojúhelníka je 18 \$cm^2\$.

  • Zapište funkci, která udává závislost mezi velikostmi odvěsen. (Nápověda: Rozdělte obdélník úhlopříčkou na dvě poloviny.)

  • Jedna z odvěsen má délku 12 cm. Jaká je délka druhé odvěsny?

  • Jedna z odvěsen má délku 2.5 cm. Jaká je délka druhé odvěsny?

Úloha 22.2

Proud je nepřímo úměrný odporu vodiče při konstantním napětí. Najděte funkci, která udává tuto závislost, víte-li, že při odporu 380 \$\Omega\$ je proud 30 mA.

Úloha 22.3

Ozubené kolo o průmeru \$d\$ mm vykoná \$n\$ otáček za minutu a zasahuje do jiného ozubeného kola o průměru 400 mm, které se otočí za minutu desetkrát.
Nalezněte funkci, jež udává závislost \$n\$ na \$d\$.

Úloha 22.4

Je dána funkce \$g: y=frac{2x+3}{x-1}\$.

  • Určete hodnoty této funkce v bodech \$5\$ a \$-2\$.

  • Určete definiční obor funkce \$g\$

  • Určete všechna \$x \in D_g\$, pro která je funkční hodnota \$g(x)=12\$.

  • Načrtněte graf funkce \$g\$

Poslední dva úkoly budou v GeoGebře hračkou, ručně to bude pracnější.

Úloha 22.5

Načrtněte grafy těchto funkcí:

  • \$f: y=frac{2}{x}\$

  • \$g: y=frac{-1.5}{x}\$

  • \$h: y=frac{1}{x}+2\$

  • \$i: y=frac{1}{x+2}\$

  • \$j: y=frac{1}{x+2}-1\$

  • \$k: y=frac{x+2}{2x-1}\$

Z grafů zjistěte, ve kterých intervalech jsou funkce rostoucí a ve kterých jsou klesající.

Úloha 22.6 - pro profesionály

Chceme vyrobit plechovku tvaru válce s víkem; její objem má být 2 \$dm^3\$.
Určete funkci vyjadřující závislost spotřeby plechu na poloměru podstavy válce.

Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv. Kdo chce posílat úkol elektrickou poštou, tak řádně označte předmět zprávy a pošlete odpovědi na otázky, nejenom nějaké Geogebra soubory. U grafů si dejte záležet a udělejte popisky funkcí a vyznačte také definiční obor funkcí.