Příklad 25.1

V továrně na hračky se vyrábějí ze dřeva (s hustotou \(\rho = 0.6\ g\cdot cm^{-3}\)) kostky ve tvaru krychle.

  1. Zapište funkci, která vyjadřuje závislost hmotnosti \(m\) kostky v gramech na délce její hrany, a načtrtněte její graf.

  2. Jaká bude hmotnost kostky při délce hrany \(4\ cm\)?

  3. Kolikrát se zvětší hmotnost kostky, zdvojnásobí-li se délka její hrany?

  4. Zapište funkci, udávající závislost délky hrany na její hmotnosti.

  5. Využijte získanou funkci k řešení tohoto úkolu: Bylo rozhodnuto, že krychlové kostky pro stavebnici, určenou nejmenším dětem, mohou mít maximální hmotnost 100 g. Jaká může být největší délka jejich hrany?

Řešení

První tři body jsme řešili v domácím úkolu č.24

1. Objem \(V=a^3\), hmotnost \(m=\rho\cdot V=0.6\cdot a^3\) Funkce je: \(m=0.6a^3\)

Graf závislosti hmotnosti kostičky na délce hrany

domaci ukol 24 1

2. Hmotnost kostičky o straně \(4\ cm\) je \(m=0.6\cdot 4^3=38.4\ g\)

3. Osmkrát. Kolikrát se zvětší hmotnost krychle vůbec nezávisí na tom, jak je krychle velká ani jak je těžká.
\(a_2=2 a_1\)
\(m_1=\rho\cdot V_1\)
\(m_2=\rho\cdot V_2\)
\(\frac{m_2}{m_1}=\frac{\rho\cdot V_2}{\rho\cdot V_1}=\frac{a_2^3}{a_1^3}=\frac{(2a_1)^3}{a_1^3}=\frac{8\cdot a_1^3}{a_1^3}=8\)

4. Máme obrácenou závislost než v bodě 1., funkce bude inverzní k funkci závislosti hmotnosti na délce kostky.

Původní funkce
\[m=0.6\cdot a^3\]
Budeme počítat inverzní funkci
\[\begin{aligned} \frac{m}{0.6}&=a^3 \\ \sqrt[3]{\frac{m}{0.6}}&=a \\ a&=\sqrt[3]{1.667\cdot m} \\ a&=1.185\cdot\sqrt[3]{m} \end{aligned}\]

Závislost délky hrany kostičky na její hmotnosti je daná vztahem \(\mathbf{a}\mathbf{=1.185}\mathbf{\cdot\sqrt[3]{m}}\), kde \(a\) je délka hrany v centimetrech a \(m\) je hmotnost kostičky v gramech.

Kontrolu správného určení vztahu můžeme provést tak, že dosadíme do něj hmotnost kostičky 38.4 g a musí nám vyjít délka hrany 4 cm.

\(a=1.185\cdot\sqrt[3]{38.4}=4\)

5. Máme funkční vztah, dosadíme do něj hodnotu 100 gramů a vyjde nám

\(a=1.185\cdot\sqrt[3]{100}\doteq 1.185\cdot 4.64 = 5.50\ cm\).

Největší délka hrany pro 100 gramovou kostičku je 5.5 cm.

Kontrolu počítání v Geogebře můžete ověřit

Příklad 25.2

Vypočítejte zpaměti, bez kalkulačky:
\(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt[3]{27}=3\), \(\sqrt{36}=6\), \(\sqrt[3]{8}=2\), \(\sqrt[6]{64}=2\), \(\sqrt[5]{32}=2\), \(\sqrt[10]{0}=0\), \(\sqrt[6]{1}=1\), \(\sqrt{2.25}=1.5\), \(\sqrt{0.04}=0.2\), \(\sqrt{0.25}=0.5\), \(\sqrt[3]{0.001}=0.1\).

Příklad 25.3

Zapište definiční obory následujích funkcí pomocí intervalů:

  1. \(f:\quad y=\sqrt{x-3}\), \(\mathbf{D_f: x\in \langle 3, \infty)}\)

  2. \(g:\quad y=\sqrt[3]{5-2x}\), \(\mathbf{D_g: x\in R}\); (lichá odmocnina)

  3. \(h:\quad y=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-3}\), \(\mathbf{D_h:} x\in(-\infty, 4\rangle \cap x\in\langle 3,\infty)\implies \mathbf{x\in\langle 3,4\rangle}\)

  4. \(i:\quad y=\frac{\sqrt[3]{x}}{x}\), \(\mathbf{D_i: x\in R - \{0\}}\); (lichá odmocnina, nesmíme dělit 0)

  5. \(j:\quad y=\sqrt[4]{x^2-1}\), \(\mathbf{D_j:} x^2-1\ge 0 \implies \vert x\vert \ge 1\implies \mathbf{x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle 1,\infty)}\)

  6. \(k:\quad y=\sqrt{\frac{4-x}{x-2}}\), \(\mathbf{D_k:} x\ne 2 \cap \frac{4-x}{x-2}\ge 0\implies \mathbf{x\in (2,4\rangle}\)

\(4-x\qquad \cap\)

\(x-2\qquad \implies\)

\(\frac{4-x}{x-2} \ge 0\)

\(4-x\ge 0\) → \(x\le4\)

\(x-2>0\) → \(x>2\)

\(x\in (2,4\rangle\)

\(4-x\le 0\) → \(x\ge 4\)

\(x-2<0\) → \(x<2\)

\(x\in\emptyset\)

Kontrola GeoGebrou