Inverzní funkce

Vezměme si hodně jednoduchou lineární funkci \(\mathbf{f(x)=2x}\). Jak budou vypadat funkční hodnoty této funkce? Například pro prvních několik přirozených čísel budou funkční hodnoty vypadat takto:

\(f(1)=2\)
\(f(2)=4\)
\(f(3)=6\)
\(f(4)=8\)
\(\dots\)

Vidíme, že pokud do funkce vložíme dvojku, vrátí se nám čtyřka. Co by měla dělat inverzní funkce k této funkci? Měla by fungovat opačně — měli bychom do ní vložit čtyřku a funkce by nám měla vrátit dvojku. Inverzní funkce, značíme \(f^{-1}\), by měla zobrazovat prvky opačně, tj, takto:

\(f^{-1}(2)=1\)
\(f^{-1}(4)=2\)
\(f^{-1}(6)=3\)
\(f^{-1}(8)=4\)
\(\dots\)

Jak to zařídit? Pokud původní funkce vracela dvojnásobek \(x\), pak inverzní funkce vy měla naopak vracet polovinu \(x\). Pokud vložíme trojku, máme po vynásobení dvěma šestku. Pokud vezmeme polovinu z šestky, máme zpět trojku. Inverzní funkce by pak měla takový zápis:

\(\mathbf{f^{-1}(x)=\frac{x}{2}}\)

Teď si nadefinujeme inverzní funkci pořádně. Mějme tedy funkci \(f\) s definičním oborem \(D_f\) a oborem hodnot \(H_f\).
Z definice funkce platí, že pro všechny prvky \(x\) z definičního oboru \(D_f\) máme nějaký prvek \(y\) z oboru hodnot \(H_f\), pro který platí \(f(x)=y\).

Co nám tato definice říká? Že pokud funkci \(f\) zavoláme s argumentem \(x\) a získéme tím hodnotur \(y\), pak musí jít inverzní funkci zavolat s argumentem \(y\) a musí vrátit hodnotu \(x\).

Vše si ještě ukážeme na obrázcích. První obrázek představuje původní funkci \(f\), která vrací dvojnásobek předané hodnoty. Levé kolečko představuje definiční obor, množinu, ze které vybíráme hodnoty za \(x\). Pravé kolečko představuje obor hodnot, množinu hodnot, kterých může funkční hodnota nabývat. Šipky pak ukazují, jaký vstup se zobrazí na který výstup. Šipek by tam samozřejmě mělo být nekonečně mnoho, tohle je jen malá část funkce.

Následuje obrázek inverzní funkce. Inverzní funkce bude vypadat velmi podobně, především se změní směr šipek a změní se definiční obor a obor hodnot. Ty se také prohodí.

Vidíme, že původně funkce zobrazovala z \(D_f\) do \(H_f\), ale inverzní funkce zobrazuje naopak, z \(H_f\) do \(D_f\).

Platí tak, že definiční obor původní funkce se rovná oboru hodnot inverzní funkce a obor hodnot původní funkce se rovná definičnímu oboru inverzní funkce.

Předně platí, že inverzní funkce nemusí vždy existovat a to kvůli základní vlastnosti funkce. Pokud vezmeme dva stejné prvky definičního oboru \(a = b\), tak nám musí funkce vrátit vždy stejný výsledek \(f(a) = f(b)\). Když se vrátíme k té funkci, která vracela dvojnásobek, tak vždy musí platit, že \(f(5) = 10\). Nemůže se stát, že by nám funkce vrátila třeba třináct: \(f(5) = 13\) — toto nesmí u funkce nastat, z definice.

A teď zkusme analyzovat situaci, kdy máme například kvadratickou funkci \(f(x) = x^2\). Co nám funkce vrátí, pokud ji zavoláme s argumenty \(x_1 = 2\) a \(x_2 = −2\)? Funkce v obou případech vrátí hodnotu \(4\):

\(f(2)=4\)
\(f(-2)=4\)

Potud v pořádku. Jak by ale vypadala inverzní funkce? Pokud bychom sestavili inverzní funkci k této kvadratické funkci, muselo by zároveň platit:

\(f^{-1}(4)=2\)
\(f^{-1}(4)=-2\)

A to jak víme není možné. Funkce nemůže vrátit různé výsledky pro stejné argumenty. Kdy tedy inverzní funkce existuje? Pokud pro žádné dva vstupní argumenty nevrátí funkce stejnou hodnotu. Což je přesně definice prosté funkce:

\(x_1 \ne x_2 \implies f(x_1)\ne f(x_2)\)

Ještě si na obrázcích objasníme, proč opravdu nemůže existovat inverzní funkce k funkci, která není prostá. Zobrazíme si pomocí šipek část kvadratické funkce \(f(x) = x^2\):

Pokud bychom se pokusili obrátit šipky, dostali bychom takový obrázek:

Dostáváme obrázek, kde z jednoho bodu vedou dvě šipky do různých čísel v druhé množině. To nesplňuje definici funkce, proto inverzní funkce nemůže existovat.

Pokud si vezmete graf funkce, tak pokud existuje inverzní funkce, pak tyto grafy budou osově souměrné s osou prvního a třetího kvadrantu (nebo jinak: symetricky sdružené kolem přímky y=x) — což zároveň představuje graf funkce \(g(x)=x\) nebo zapsáno jinak \(g: y=x\).

Pokud máte zadanou funkci a je úkolem vypočíst k ní inverzní funkci, postupuje se tak, že se z funkce postavíte do rovnice a osamostatníte z rovnice x. Takže prvně jmenovanou lineární funkci \(f(x) = 2x\) upravíme takto:

\(y=2x\)

Tímto začneme. Cílem je vyjádřit x vzhledem k y. Tady to jde celkem rychle, prostě vydělíte rovnici dvěma

\(\frac{y}{2}=x\)

a máme vyjádřené \(x\). Inverzní funkce tak bude \(\mathbf{f^{-1}(x)=\frac{x}{2}}\)