Řešení domácího úkolu č. 24

Úloha 24.1

V továrně na hračky se vyrábějí ze dřeva (s hustotou \$\rho=0.6\quad g\cdot cm^{-3}\$) kostičky ve tvaru krychle.

Zapište funkci, která vyjadřuje závislost hmotnosti kostičky na délce \$a\$ její hrany a nakreslete její graf.
Objem \$V=a^3\$, hmotnost \$m=\rho\cdot V=0.6\cdot a^3\$ Funkce je: \$m=0.6a^3\$

Graf závislosti hmotnosti kostičky na délce hrany

domaci ukol 24 1

Jaká je hmotnost kostičky při délce hrany 4 cm?
Nápověda: hmotnost = hustota * objem, \$\mathbf{m}\ [g] = \mathbf{\rho}\ [\frac{g}{cm^3}] \mathbf{* V}\ [cm^3]\$)
Hmotnost kostičky o straně \$4\ cm\$ je \$m=0.6\cdot 4^3=38.4\ g\$
Kolikrát se zvětší hmotnost kostičky, zdvojnásobí-li se délka její hrany?
Osmkrát. Kolikrát se zvětší hmotnost krychle vůbec nezávisí na tom, jak je krychle velká ani jak je těžká.
\$a_2=2 a_1\$
\$m_1=\rho\cdot V_1\$
\$m_2=\rho\cdot V_2\$
\$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\rho\cdot V_2}{\rho\cdot V_1}=\frac{a_2^3}{a_1^3}=\frac{(2a_1)^3}{a_1^3}=\frac{8\cdot a_1^3}{a_1^3}=8\$

Úloha 24.2

Délky hran kvádru jsou v poměru 1:2:3. Zapište funkci, vyjadřující závislost objemu kvádru na délce jeho nejdelší hrany a nakreslete její graf.

Vzorec pro výpočet objemu kvádru je \$V=a\cdot b\cdot c\$. Pokud si nejkratší hranu označíme písmenkem \$a\$, potom nejdelší hrana bude \$3a\$ a prostřední bude \$2a\$. Tohle se nám ale nehodí, protože máme určit funkci objemu v závislosti na nejdelší hraně.

Pokud si nejdelší hranu označíme \$a\$, potom nejkratší bude \$\frac{a}{3}\$ a prostřední bude \$\frac{2a}{3}\$. Upravený vzorec pro objem bude: \$\mathbf{V}=\frac{a}{3}\cdot \frac{2a}{3}\cdot a=\mathbf{\frac{2}{9}\cdot a^3}\$, a to je naše funkce. Nezávisle proměnná je \$a\$ a závisle promměná je \$V\$. Je jasné, že délka \$a\$ nemůže být záporná (takový kvádr neexistuje), proto je definiční obor funkce objemu \$D_V: a\in (0,\infty)\$.

Graf závislosti objemu kvádru \$V\$ na nejdelší hraně \$a\$

domaci ukol 24 reseni p2