Příklad 6.1

Sestrojte graf lineární funkce \$y=-2x+3\$ a zjistěte pak z něho, pro která \$x \in R\$ platí:

  1. \$-2x+3=0\$

  2. \$-2x+3 \ge 0\$

  3. \$-2x+3 < 0\$

  4. \$-2x+3 \le -5\$

  5. \$-2x+3 > 8\$

  6. \$-5 \le -2x+3 < 8\$

S Geogebrou to jde vyřešit levou zadní. Vyřešeno je zde.

Tužkou na papíře je to náročnější (část 4. \$-x2+3 \le -5\$). Kamera a asistent režie Jan Jindra. Kravál na pozadí dělá kompars, který nedostal včas příslušnou dávku Antipubertinu ®.

Pro kontrolu můžete vyřešit ještě všechny úlohy početně.

  1. \$\quad -2x+3=0\$ pro \$x=1.5\$

  2. \$\quad -2x+3 \ge 0\$ pro \$x \in (-\infty; 1.5 \rangle\$

  3. \$\quad -2x+3 < 0\$ pro \$x \in (1.5; \infty)\$

  4. \$\quad -2x+3 \le -5\$ pro \$x \in \langle 2.5; \infty )\$

  5. \$\quad -2x+3 > 8\$ pro \$x \in (-\infty; 2.5)\$

  6. \$\quad -5 \le -2x+3 < 8\$ pro \$x \in (2.5; 4 \rangle \$

Příklad 6.2

Sestrojte v téže soustavě souřadnic \$Oxy\$ grafy funkcí \$\quad y=x+1\$ a \$\quad y=-0.5x+4\$.
Určete pak všechna \$x \in R\$ pro která platí:

  1. \$\quad x+1 = -0.5x+4\$

  2. \$\quad x+1 \le -0.5x+4 \$

  3. \$\quad x+1 < -0.5x+4\$

  4. \$\quad x+1 \ge -0.5x+4\$

  5. \$\quad x+1 > -0.5x+4\$

S Geogebrou to jde vyřešit levou zadní.

Pro kontrolu můžete vyřešit ještě všechny úlohy početně.

Příklad 6.3

Spotřebitel chce zakoupit vetší množství jistého druhu zboží, maximálně však 80 kg. Má dvě možnosti nákupu:

  1. Zboží nakoupí v prodejně v bezprostřední blízkosti svého bydliště, kde za 1 kg zboží zaplatí 27.50 Kč.

  2. Zajede se svým autem k výrobci, u něhož 1 kg tohoto zboží stojí pouze 18.20 Kč. Musí však zaplatit (jak si dopředu spočítal) 350 Kč za benzín.

Při jakém množství zboží bude pro spotřebitele finančně výhodnější zakoupit přímo u výrobce? (Neuvažujeme ztrátu času a amortizaci auta.)

Řešení

Pro oba případy sestavíme funkce, které budou vyjadřovat závislost \$y\$ finančních nákladů v Kč na počtu kilogramů zakoupeného zboží.

  1. \$f: y = 27.5*x, x \in (0; 80 \rangle\$

  2. \$g: y = 18.2*x+350, x \in (0; 80 \rangle \$

Sestrojíme grafy funkcí \$f\$ a \$g\$ v téže soustavě souřadnic \$Oxy\$.

  1. Z grafů vidíme, že pokud chce spotřebitel nakoupit méně než 37.63 kg zboží, vyplatí se mu nakupovat v místním obchodě, protože \$f(x) < g(x), pro \quad x \in (0, 37.63)\$.

  2. Pokud bude nakupovat více než 37.63 kg, tak se mu vyplatí jet k výrobci, protože \$g(x) < f(x), pro \quad x \in (37.63, 80)\$.

  3. Pokud chce nakoupit přesně 37.63 kg zboží (což je pravděpodobně fakticky nereálné), tak je jedno, kam pojede, neboť \$f(x) = g(x), pro \quad x=37.63\$.

    Poznámka: V GeoGebře se intervaly zapisují trochu jinak, než jsme zvyklí. Interval je v kulatých závorkách, vlevo je dolní mez, potom proměnná a vpravo horní mez.
Pokud mez není v intervalu, použijeme znak většítko. Pokud mez je součástí intervalu, tak použijeme znaky většítko a rovná se.
1. interval bychom zapsali takto: (0 < x < 37.63), 3. interval takto: (37.63 < x < 80)

Pokud bychom neměli k dispozici GeoGebru, tak potřebujeme přesně určit průsečík funkcí \$f(x)\$ a \$g(x)\$, musíme to spočítat.
Řešíme úlohu: Pro jaké \$x\$ je hodnota funkce \$f\$ rovna hodnotě funkce \$g\$?

\$f(x)=g(x)\$ Dosadíme za \$f(x)\$ a \$g(x)\$
\$27.5*x = 18.2*x+350\$ a máme lineární rovnici, kterou umíme řešit
\$27.5*x - 18.2*x = 350\$
\$9.3*x=350\$
\$x=frac{350}{9.3} \approx 37.63\$

Pokud bychom měli jinou úlohu, kde by se nevyskytovaly jenom lineární funkce, tak bude početní řešení mnohem složitější a v tomto případě se GeoGebra ukazuje jako neocenitelný pomocník.

Jednoduše spočítat průsečík dvou funkcí ťuknutím na funkci umí až GeoGebra verze 6, Geogebra Classic 5 to neumí tak snadno.
Tady musíme použít funkci Solve. Solve(27.5x=18.2x+350). V české verzi je to ekvivalentní funkce Vyresit(27.5x=18.2x+350).
Nebo se to dá vyřešit pomocí nástroje Průsečík (angl. Intersect).

Úlohy k počítání (domácí úkol č. 14 na příští hodinu)

Úloha 6.4

Sestrojte graf funkce \$m: \quad y=-x+2.5\$. Z grafu pak určete všechna \$x \in R\$, pro která platí:

  1. \$\quad m(x)=0\$

  2. \$\quad m(x)\le 0\$

  3. \$\quad m(x) > 3\$

  4. \$\quad m(x) \le -1\$

  5. \$\quad -3 \le m(x) \le 2\$

  6. \$\quad -7.5 < m(x) < 4.5\$

Problém, na který jsme narazili při řešení v GeoGebře, opravený Geogebra soubor.

Úloha 6.5

Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí \$r: \quad y=0.5x-2\$ a \$s: \quad y=-x-1\$.
Z obrázku zjistěte, které z následujících výroků jsou pravdivé:

  1. \$\quad r(x) > s(x)\$

  2. \$\quad r(4) \ge s(4)\$

  3. \$\quad r(-2) < s(-2)\$

  4. \$\quad r(3) \le s(3)\$

Úloha 6.6

Soustružník má na soustruhu opracovat určitý počet odlitků. Může volit jeden ze tří pracovních postupů:

  1. Začne pracovat bez jakékoliv úpravy stroje; přitom opracuje jeden odlitek za jednu hodinu.

  2. Provede menší úpravu stroje, která trvá 2 hodiny; potom opracuje jeden odlitek za 30 minut.

  3. Udělá větší úpravu stroje, která trvá 5 hodin, a pak opracuje jeden odlitek za 15 minut.

Určete funkce, které vyjadřují závislost počtu opracovaných odlitků na čase pro všechny tři varianty.
Který z pracovních postupů je časově nejvhodnější, jestliže má soustružník opracovat 3, 6, 11, 14 odlitků?
Pro jaký počet odlitků je nejvhodnější varianta 1., 2. a 3?
Úlohy můžete řešit graficky i početně, na papíře nebo GeoGebrou.

Řešení je zde.

Úloha 6.7

Řešte graficky i početně tyto soustavy rovnic s neznámými \$x,y \in R\$:

  1. \$\quad y=3x-2\$
    \$\quad y = -x+1\$

  2. \$\quad 3x-2y=4\$
    \$\quad x+3y=5\$

  3. \$\quad x+y=1\$
    \$\quad -3x=15+3y\$

  4. \$\quad 3x+y=9\$
    \$\quad 6x+2y=18\$

Nápověda: Každou rovnici si pomocí ekvivalentních úprav upravte tak, abyste ji dostali do tvaru \$y=...\$, potom už je to snadné, řešení bude průsečík dvou funkcí.

řešení úlohy 6.7

Kdo bude řešit úlohy GeoGebrou, výsledky posílejte emailem na jirka@lixis.cz. Prosím pošlete mailem nejenom příslušné ggb soubory pojmenované uloha_6_N_Prijmeni_Jmeno.ggb, ale i slovní odpověď celou větou na jednotlivé otázky. Ať se v tom vyznám.

Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv. Kdo namastí nesouvislou změť nějakých čar a bude to vydávat za úkol, tak dostane kuli také. Důrazně doporučuji na grafy čtverečkovaný papír.