Úlohy 6.7
Řešte graficky i početně tyto soustavy rovnic s neznámými \$x,y \in R\$:
-
\$\quad y=3x-2\$
\$\quad y = -x+1\$ -
\$\quad 3x-2y=4\$
\$\quad x+3y=5\$ -
\$\quad x+y=1\$
\$\quad -3x=15+3y\$ -
\$\quad 3x+y=9\$
\$\quad 6x+2y=18\$
úloha 6.7.1
početní řešení
\$y=3x-2\$
\$y=-x+1\$ // odečteme druhou rovnici od první rovnice
\$0=3x+x-2-1\$
\$0=4x-3\$
\$x=frac{3}{4}\$ // dosadíme vypočtené x do první rovnice
\$y=3*frac{3}{4}-2\$
\$y=frac{3*3-2*4}{4}\$
\$y=frac{1}{4}\$
Zkouška:
-
rovnice: \$frac{1}{4}=3*frac{3}{4}-2\$ → \$frac{1}{4}=frac{9-8}{4}\$ → evidentně platí
-
rovnice: \$frac{1}{4}=-frac{3}{4}+1\$ → \$frac{1}{4}=frac{4-3}{4}\$ → evidentně platí
Soustavu rovnic máme vyřešenu dobře, kořeny jsou \$x=frac{3}{4}\$ a \$y=frac{1}{4}\$.
grafické řešení
Hledáme průsečík funkcí \$f: y=3x-2, x \in R\$ a \$g: y=-x+1, x \in R\$.
Nalezli jsme bod \$A=(0.75,0.25)\$, souřadnice bodu A jsou \$x=0.75=frac{3}{4}\$, \$y=0.25=frac{1}{4}\$,což odpovídá početnímu řešení.
úloha 6.7.2
početní řešení
-
\$\quad 3x-2y=4\$
-
\$\quad x+3y=5\$
Druhou rovnici vynásobíme -3 a sečteme s první rovnicí.
-
\$\quad 3x-2y=4\$
-
\$\quad -3x-9y=-15\$
\$0*x-11y=-11\$ → y=1 // dosadíme vypočtené y do první rovnice
\$3x-2*1=4\$ → \$3x-2=4\$ → \$3x=6\$ → \$x=2\$
Zkoušku uděláme graficky, průsečík nám musí vyjít \$A=(2,1)\$.
grafické řešení
Upravíme si rovnice do tvaru \$y=něco\$ takto: v první rovnici 3x dáme na druhou stranu a potom vydělíme rovnici -2 a v druhé rovnici dáme x na druhou stranu a vydělíme rovnici 3.
\$f: y=frac{3}{2}*x-2\$
\$g: y=-frac{1}{3}*x+frac{5}{3}\$
Teď vypadají rovnice jako lineární funkce a můžeme se pustit do grafu v Geogebře.
Grafické řešení nám souhlasí s početním řešením, proto ho považujeme za zkoušku. Komu by to nestačilo, tak početně:
-
\$\quad 3*2-2*1=4\$ → \$6-2=4\$, což vychází.
-
\$\quad 2+3*1=5\$, což vychází také.
úloha 6.7.3
početní řešení
-
\$\quad x+y=1\$
-
\$\quad -3x=15+3y\$
První rovnici vynásobíme 3 a obě rovnice sečteme.
\$3y=1+15+3y\$ → a jejda, vychází nám po úpravě: \$3y-3y=16\$ → \$0*y=16\$, což nemá nikdy řešení.
grafické řešení
Upravíme obě rovnice do tvaru \$y=něco\$ a nakreslíme grafy.
-
\$f: y=-x+1\$
-
\$g: y=-x-5\$
Vidíme, že grafy funkcí představují rovnoběžky a ty se jak je známo v Eukleidovské geometrii nikdy neprotnou. Soustava rovnic tudíž nemá řešení.
úloha 6.7.4
početní řešení
-
\$\quad 3x+y=9\$
-
\$\quad 6x+2y=18\$
Druhou rovnici vydělíme 2 a druhou rovnici odečteme od první.
-
\$\quad 3x+y=9\$
-
\$\quad 3x+y=9\$
\$(3-3)*x+(1-1)*y=9-9\$ → \$0*x+0*y=0\$, což má řešení pro libovolné x a libovolné y.
grafické řešení
Vidíme, že grafy funkcí \$f(x)\$ a \$g(x)\$ jsou totožné přímky, které se protínají v nekonečně mnoha bodech, proto je řešení soustavy rovnic nekonečně mnoho. (Obě rovnice jsou lineárně závislé.)