Kvadratická funkce
Příklad 12.1
Farmář chce vybudovat pro kuřata výběh pravoúhelníkového tvaru, přitom jedna stana bude částí stěny hospodářské budovy (viz obrázek). K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které bude plocha výběhu co největší.
Řešení
Neznámé jsou délky hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z bočních stran délku \$x\$ metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne \$(18-2x)\$ metrů.
Obsah \$S\$ pravoúhelníku je potom \$(18-2x)*x\$ metrů. Je přitom jasné, že \$x \in (0, 9)\$. Ale jak dále?
1. Zkusíme nejprve vypočítat hodnotu výrazu \$(18-2x)*x\$ postupně pro \$x=1, 2, 3,..., 8\$
| \$x\$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\$(18-2x)*x\$ |
16 |
28 |
36 |
40 |
40 |
36 |
28 |
16 |
Z tabulky je vidět, že hodnoty výrazu \$(18-2x)*x\$ s rostoucím \$x\$ nejprve vzrůstají, pak začínají klesat.
2. Pro které \$x \in (0, 9)\$ bude mít výraz \$(18*2x)*x\$ pravděpodobně největší hodnotu?
Zobrazíme uspořádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic \$0xy\$ (obrázek níže).
Obrázek zřetelně ukazuje na symetrické rozložení bodů podle přímky rovnoběžné s osou \$y\$ a vedené bodem \$\[4.5, 0]\$. Odtud se dá usoudit, že hodnota výrazu \$(18-2x)*x\$ bude maximální pro \$x=4.5\$
Je tomu skutečně tak?
Upravíme výraz \$(18-2x)*x\$ doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:
\$(18-2x)*x = -2x^2+18x = -2(x^2-9x+4.5^2-4.5^2) = -2(x^2-9x+4.5^2)+2*4.5^2 = -2(x-4.5)^2+40.5\$
Výraz \$-2*(x-4.5)^2+40.5\$ má maximální hodnotu pro \$x=4.5\$, a to \$40.5\$.
Pro každé \$x\ne 4.5\$ je totiž \$-2*(x-4.5)^2 < 0\$, a tedy \$-2*(x-4.5)^2+40.5 < 40.5\$
Závěr: Farmář by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru (čtverec) s bočními stranami o délce 4.5 metru.
Závislost \$(18-2x)*x\$ na \$x \in (0,9)\$ vyjadřuje funkce
\$y=(18-2x)*x, x \in (0,9)\$
neboli funkce
\$y=-2x^2+18x, x \in (0,9)\$
Graf je zde:
Kvadratická funkce je každá funkce na množině \$R\$ (tj. o definičním oboru \$R\$), daná ve tvaru:
\$\mathbf{y=ax^2+bx+c}\$
kde \$a \in R - {0}, b,c \in R\$.
Příkladem kvadratické funkce je funkce \$y=-2x^2+18x\$ (o definičním oboru \$R\$), v níž je \$a=2, b=18, c=0\$.
Křivka, která je grafem kvadratické funkce se nazývá parabola.
Příklady k počítání
Úloha 12.2
Farmář se rozhodl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru pro kuřata dále od hospodářské budovy (viz příklad 12.1), a musí proto ohradit pletivem všechny 4 strany. Přikoupil ještě 9 metrů pletiva (má tedy k dispozici 27 metrů pletiva) a postavil výběh o rozměrech 9 metrů a 4.5 metrů. Má tento výběh skutečně maximální plochu?
Nejdříve se pokuste řešit samostatně, pokud se vám nebude dařit, tak se můžete podívat na řešení zde.
Úloha 12.3
Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí \$v=50\quad m*s^{-1}\$.
Určete jaké největší výšky dosáhne. (Užijte vzorec: \$s=v*t-frac{1}{2}*g*t^2\$; \$\quad g \approx 10\quad m*s^{-1}\$.)
Nejdříve se pokuste řešit samostatně, pokud se vám nebude dařit, tak se můžete podívat na řešení zde.
Úloha 12.4
Výkon turbíny závisí na počtu otáček za sekundu (označíme písmenkem \$n\$). Určete počet otáček za sekundu, kdy bude výkon maximální, když víte, že tento výkon je vyjádřen vztahem \$P= \alpha*n - \beta*n^2\$, kde koeficient \$\alpha=0.45543\quad m^2*kg*s^{-2}\$ a koeficient \$\beta=0.0010344\quad m^2*kg*s^{-1}\$.
Nejdříve se pokuste řešit samostatně, pokud se vám nebude dařit, tak se můžete podívat na řešení zde.
Úloha 12.5
Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany \$a\$ cm a výšce 4 cm.
Zapište funkci, která vyjdřuje
a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy;
b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.
Nejdříve se pokuste řešit samostatně, pokud se vám nebude dařit, tak se můžete podívat na řešení zde.
Jak udělat v Geogebře graf neznámé funkce z naměřených bodů
Mějme tabulku funkčních hodnot podobnou příkladu 12.1:
| \$x\$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 4.5 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\$f(x)\$ |
16 |
28 |
36 |
40 |
40.5 |
40 |
36 |
28 |
16 |
Nevíme, jaká to je funkce. Předpokládáme, že by to mohla být kvadratická funkce.
Naším úkolem je najít funkční předpis této funkce, jejíž funkční hodnoty (třeba naměřené hodnoty) pro určité body máme.
Budeme postupovatv GeoGebře takto:
-
nadefinujeme si body podle naší tabulky: \$A=(1,16)\$; \$B=(2,28)\$; \$C=(3,36)\$; \$D=(4,40)\$; \$E=(4.5,40.5)\$; \$F=(5,40)\$; \$G=(6,36)\$; \$H=(7,28)\$; \$I=(8,16)\$.
-
spojíme si tyto body do seznamu \$l1={A,B,C,D,E,F,G,H,I}\$
-
použijeme funkci FitPoly(seznam_bodů), které jako parametr předám vytvořený seznam l1 \$FitPoly(l1)\$
Geogebra nám proloží body ze seznamu l1 polynomickou funkcí 8. stupně \$f(x)=0*x^8+0*x^7-0*x^6+0*x^5-0*x^4+0*x^3-2x^2+18x\$, což je se přesně trefilo do funkce \$f(x)=-x^2+18x\$, jako v příkladě 12.1, jenom jsem vynechali členy s nulovými koeficienty.
Tomuto se říká polynomická regrese a umožňuje nám to určit předpis funkce, která nejlépe odpovídá zvoleným (naměřeným) bodům. Matematicky zatím nevíte, co to je, protože to je učivo matematiky na vysokých školách, ale pomocník je to vynikající.
Polynomické funkce jsou takové funkce, které se dají zapsat předpisem \$f(x)=k_n*x^n+k_{n-1}*x^{n-1}+...+k_3*x^3+k_2*x^2+k_1*x^1+k_0*x^0\$,
kde koeficienty jsou reálná čísla \$k_n, k_{n-1},...,k_2,k_1,k_0\$, přičemž koeficient \$k_n \ne 0\$ a stupeň polynomické funkce je potom přirozené číslo \$n\$.
U kvadratické funkce je stupeň polynomu \$n=2\$, všechny vyšší koeficienty jsou nulové. Proto říkáme, že kvadratická funkce je polynomická funkce druhého stupně.
Zápis konstrukce je zde.
Poznámka: V české verzi Geogebry se funkce FitPoly() jmenuje RegresePolynomialni(). Funkce se dá použít i s druhým nepovinným parametrem, který omezuje stupeň polynomu. Našemu grafu by vyhovovalo RegresePolynomialni(l1, 2) a dostali bychom rovnou kvadratickou funkci.