Úloha 12.2
Farmář se rozhodl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru pro kuřata dále od hospodářské budovy (viz obrázek), a musí proto ohradit pletivem všechny 4 strany. Přikoupil ještě 9 metrů pletiva (má tedy k dispozici 27 metrů pletiva) a postavil výběh o rozměrech 9 metrů a 4.5 metrů. Má tento výběh skutečně maximální plochu?
Řešení
Umíme spočítat obvod obdélníka podle vzorce \$\mathbf{O=2*(a+b)}\$, kde \$\mathbf{a}\$ a \$\mathbf{b}\$ jsou strany obdélníka. Víme, že tento obvod \$O\$ musí být 27 metrů (farmář má přesně tolik metrů pletiva). Naše úloha spočívá v tom, že máme pevný obvod obdélníka \$O\$ a hledáme, při jakých stranách obdélníka \$a\$ a \$b\$ je jeho plocha maximální. Plochu obdélníka spočítáme podle vztahu \$\mathbf{S=a*b}\$.
Intuitivní postup
Vídíme, že obvod \$27 = 2*(9+4.5)\$. Spočítáme plochu tohoto obdélníka \$S=9*4.5=40.5 m^2\$.
Zkusíme strany obdélníka změnit třeba tak, že kratší stranu prodloužíme o 1 m a delší devítimetrovou o 1 m zkrátíme. Obvod \$27=2*(8+5.5)\$ zůstal zachován, plocha je \$S=8*5.5=44 m^2\$. Hoho, plochu máme větší. Farmář, co se neučil matematiku, postavil menší výběh, než mohl.
Zkusíme další krok, ještě o metr upravíme, \$a=7 m\$ a \$b=6.5 m\$. Obvod je \$O=2*(7+6.5)=27 m\$. Plocha je \$S=a*b=7*6.5=45.5 m^2\$, ještě větší, než v předchozím kroku. Farmář by se nad sebou měl zamyslet a doučit se matematiku střední školy, jinak ve svém podnikání za chvíli prodělá kalhoty.
Vidíme, že pokud se budeme s obdélníkem přibližovat čtverci, tak to vypadá, že dostaneme maximální plochu.
Obvod \$O=2*(6.75+6.75)=27 m\$, plocha \$S=6.75^2=45,5625 m^2\$.
Naším intuitivním postupem můžeme odpovědět na otázku úlohy. Výběh 9x4.5 m, který postavil farmář, nemá maximální plochu. A čím větší plocha, tím se mají kuřata lépe, mají více prostoru a zobání.
Pokud bychom postupovali intuitivně dále, tak budeme dostávat předchozí kroky. Prodloužíme jednu stranu o 25 cm a druhou o 25 cm zkrátíme a dostaneme výběh, který už jsme počítali 6.5 m x 7 m, který bude mít plochu stejnou jako výběh 7 m x 6.5 m (Matematik by řekl: "Platí komutativní zákon při násobení").
Postup matematika
Vyjádříme si funkci závislosti plochy obdélníka na jeho stranách. Protože strany obdélníka jsou dvě (a zatím neumíme funkce dvou proměnných), tak využijeme poznatku, že neměnný obvod obdélníka nám svazuje jednu stranu obdélníka s druhou.
Do vzorce pro výpočet plochy \$S=a*b\$ dosadíme z upraveného vzorce pro obvod třeba stranu \$b\$ vyjádřenou takto: \$27=2*(a+b)\$ → \$a+b=frac{27}{2}\$ → \$\mathbf{b=frac{27}{2}-a}\$.
\$\mathbf{S}=a*b=\mathbf{a*(frac{27}{2}-a)}\$
A už vidíme funkci závislosti plochy \$S\$ na jedné proměnné \$a\$. Protože máme rádi písmenko \$x\$ pro označení nezávisle promměnné, tak formálně zaměníme písmenko \$a\$ (které mimochodem rádi používáme pro označení parametru) za \$x\$.
Upravený vztah bude vypadat takto:
\$S=x*(13.5-x)\$
Ještě musíme určit definiční obor funkce. Je jasné, že obdélník, jehož jedna strana bude nulová nebude žádným obdélníkem (o záporných hodnotách vůbec neuvažujeme). Zcela jistě bude definiční obor začítat v 0 (nula tam nebude patřit.) Kam až můžeme s proměnnou x jít v naší úloze. Máme 27 metrů pletiva, a kdybychom udělali obdélník o jedné straně nulové, tak bychom mohli pletivo natáhnou maximálně do vzdálenosti \$frac{27}{2}=13.5\$ m. Takže definiční obor nám bude končit \$x=13.5\$. Vyjádříme si to formálně intervalem \$x \in (0, 13.5)\$.
Máme tedy funkci plochy našeho obdélníka na straně x (označíme ji písmenkem s): \$s: y=x*(13.5-x), D_s \in (0, 13.5)\$
Můžeme funkci ještě malinko upravit: \$\mathbf{s: y=-x^2+13.5x, D_s \in (0, 13.5)}\$. Vidíme, že to je kvadratická funkce.
Při hledání maxima funkce by matematik postupovat tak, že by našel první derivaci funkce a tu položil rovnou nule. Tam bude maximum nebo minimum. Co to je první derivace funkce nevíme, tak si pomůžeme jinak. Nakreslíme si graf funkce.
Pokud budeme kreslit graf v GeoGebře, tak ta mám umí vyhledat maximum funkce sama. Je označené bodem A. Vidíme, že matematický postup nám udělal stejný výsledek, jako náš intuitivní.
Pokud budete kreslit graf na papíře, což je mnohem pracnější, protože si budete muset spočítat mnoho funkčních hodnot, potom maximum můžete určit okem a z tohoto maxima vést kolmici k ose x a tak určit, pro který rozměr obdélníka je funkce maximální.
Funkční hodnotu určíte kolmicí z maxima k ose y.
Na grafu je to naznačeno tečkovanými přímkami r1 a r2.
Můžeme tedy říci, že výběh o rozměrech 9 m x 4.5 m nebude mít maximální plochu. Navíc jsme určili maximální plochu výběru pro rozměry pravoúhelníka 6.75 m x 6.75 m.