Výkon turbíny závisí na počtu otáček za sekundu (označíme písmenkem \$n\$). Určete počet otáček za sekundu, kdy bude výkon maximální, když víte, že tento výkon je vyjádřen vztahem \$P= \alpha*n - \beta*n^2\$, kde koeficient \$\alpha=0.45543\quad m^2*kg*s^{-2}\$ a koeficient \$\beta=0.0010344\quad m^2*kg*s^{-1}\$.
Řešení
Máme vztah, který určuje výkon turbíny v závislosti na otáčkách za minutu. Vidíme, že to je kvadratická funkce.
Ješte si musíme určit definiční obor této funkce. Je jasné, že při nulových otáčkách turbína nebude vyrábět nic (o záporných otáčkách vůbec neuvažujeme). Definiční obor funkce bude začínat 0. Kde bude končit, spočítáme tak, že vyřešíme kvadratickou rovnici \$\alpha*n-\beta*n^2=0\$, tedy konkrétně \$0.45543*n-0.0010344*n^n\$.
Pro další počítání (aby se nám to hezky kreslilo v GeoGebře) zaměníme písmenko n písmenkem x, funkci pak budeme značit p(x).
Řešme tedy rovnici: \$-0.0010344*x^2+0.45543*x=0\$
Rovnici můžeme řešit jednoduše vytknutím \$x\$ před závorku: \$x*(-0.0010344*x+0.45543)=0\$ a potom použijeme pravidlo, že součin dvou čísel je roven 0, právě tehdy když, libovolný z činitelů je roven 0.
První kořen rovnice je jasný \$x_1=0\$, druhý kořen \$x_2\$ vypočítáme z \$-0.0010344*x+0.45543=0\$
\$x_2=frac{-0.45543}{-0.0010344}\approx 440\$ otáček za sekundu.
To vypadá na vysokootáčkovou turbínu.
Hledání maxima bude snadné, rozdělíme interval \$(0, 440)\$ na polovinu a tam bude maximum.
Maximum funkce je při \$220\$ otáčkách za minutu a je \$0.45543*220-0.0010344*(220)^2 \approx 50.13 m^2*kg*s^{-3} = 50.13 W\$, což vypadá na nějakou malou vysokootáčkovou tubínku (že bychom byli u zubaře?).