Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí \$v=50\quad m*s^{-1}\$.
Určete jaké největší výšky dosáhne. (Užijte vzorec: \$s=v*t-frac{1}{2}*g*t^2\$; \$\quad g \approx 10\quad m*s^{-1}\$.)
Řešení
Vzorec nám popisuje závislost dráhy tělesa na čase (funkci dráhy na čase). První část vzorce \$v*t\$ nám popisuje pohyb rovnoměrný přímočarý vzhůru a druhá část vzorce \$-frac{1}{2}*g*t^2\$ nám popisuje volný pád, který působí proti vrhu vzhůru.
Nezávisle promměnná (čas) je označena písmenem \$t\$, ostatní písmenka ve vzorci představují konstanty (čísla). Ze vzorečku vidíme, že funkce je kvadratická, máme tam \$t^2\$. Naše úloha je najít maximum funkce. Definiční obor funkce si stanovíme od 0 (záporný čas nemá cenu uvažovat). Stanovení časového konce našeho vrhu není pro řešení maxima důležité, spokojíme se s tím, že někdy skončí. A děj skočí tehdy, když nám těleso dopadne na zem.
GeoGebra je super pomocník, nakreslíme si graf funkce a maximum nám najde GeoGebra. Místo písmenka \$t\$ budeme v GeoGebře používat písmenko \$x\$, GeoGebra nám bude za to vděčná.
GeoGebra nám určila, že maximu bude v bodě A=(5,125), to znamená že za \$5\quads\$ dosáhne těleso vrcholu a octne se ve výšce \$125\quad m\$ nad zemí.
Nalezení maxima funkce \$s=v*t-frac{1}{2}*g*t^2\$ bez GeoGebry
Mohli bychom to dělat graficky na papíře, ale to by bylo dosti pracné. Budeme chytřejší a spočítáme to snadno.
Všimněme si, že graf kvadratické funkce má parabolu s vrcholem nahoře, a graf protíná osu \$x\$ ve dvou bodech. O jednom z nich víme, aniž bychom cokoliv řešili. Je to bod (čas = 0 sekund, výška = 0 metrů), označme ho \$P\$ jako počátek. Koncový bod neznáme, víme o něm že výška tělesa nad zemí bude zase nulová, označme ho \$K\$ jako konec, ( čas = t sekund, výška = 0 metrů )
Z řešení předchozích příkladů víme, že maximum takovéto kvadratické funkce se bude nacházet časově v polovině mezi počátkem a koncem.
Nejprve vyřešíme konec děje. Víme že \$s=0\$. Dosadíme do funkčního vztahu \$s=50*t-0.5*10*t^2\$ a dostaneme kvadratickou rovnici, kterou umíme vyřešit (dokonce známe už předem jeden kořen \$t_1=0\$ - počátek děje).
\$5*t^2-50*t=0\$
Kvadratickou rovnici nemusíme řešit pomocí diskriminantu, protože to je kvadratická rovnice bez absolutního členu. Upravíme si ji na tvar:
\$t*(5*t-50)=0\$
A toto je velmi lehké, neboť víme, že součin je roven 0, pokud jeho jeden činitel je roven 0.
Kořen \$t_1=0\$ už známe, spočítáme 2. kořen:
\$5*t-50=0\$ → \$\mathbf{t_2}=frac{50}{5}=\mathbf{10}\$
Polovina mezi kořeny \$t_2\$ a \$t_1\$ je 5. Spočítáme funkční hodnotu funkce \$s=50*t-0.5*10*t^2\$ pro číslo 5 a máme maximum.
\$\mathbf{s_max =} 50*5-0.5*10*5^2=250-5*25=250-125=\mathbf{125}\$
Hotovo, bez grafu a jednoduše.
Odpověď je: těleso dosáhne maximální výšky 125 m nad zemí.