Kvadratické rovnice

Pro další výklad je důležité, abyste se naučili určovat jednotlivé koeficienty a, b a c.

Jednoduchý příklad, určete koeficienty u rovnice \$3x^2+5x+8=0\$. Zde to je jednoduché: \$a=3\$, \$b=5\$ a \$c=8\$.

Jak to bude například u rovnice \$5x^2 - x - 5 = 0\$?

Zde je koeficient \$a=5\$, \$b=-1\$ a \$c=-5\$, protože rovnici můžeme psát takto: \$5*x^2+(-1)*x+(-5) = 0\$.

Další příklad: \$x^2 - 3 = 0\$

Kde je koeficient b? Koeficient b je roven 0.

Rovnice se dá psát jako: \$1*x^2+0*x+(-3)=0\$

Složitější příklad:

\$3x^2 + 3x + \pix = 0\$

Zde jsou dva chytáky. Kvadratický člen je jasný \$a=3\$, ale chybí zde absolutní člen, takže \$c=0\$ a kde je lineární člen?

Trochu rovnici upravíme tak, že vytkneme x:

\$5x^2 + (3+\pi)*x = 0\$

Koeficient b je to, co je před promměnnou x, tj. \$b = 3+\pi\$.

Ještě jedna rovnice:

\$-x^2+4x+1-sqrt{2}=0\$

Koeficienty kvadratického a lineárního členu jsou zřejmé \$a=-1\$ a \$b=4\$ a co to je \$1-sqrt{2}\$?

\$1-sqrt{2}\$ je koeficient absolutního členu. Není u něj \$x\$ ani \$x^2\$.

Poslední příklad, jak to bude s rovnicí:

\$(x+1)*(x+2) = -2x\$

Roznásobíme závorky a dostaneme:

\$x^2+2x+x+2 = -2x\$ → \$x^2+3x+2=-2x\$

K obě stranám rovnice přičteme 2x a dostaneme.

\$x^2+5x+2=0\$

Již vidíme všechny koeficienty: \$a=1\$, \$b=5\$ a \$c=2\$.

Určete zda je rovnice kvadratická a pokud ano, tak ji převeďte do základního tvaru a určete její koeficienty:

a) \$2x+6-x^2=0\$

b) \$5=12+x^2+2x-5x^2+2\$

c) \$x^2=2x+frac{3}{x}\$

d) \$(x+6)*(x-6)=6\$

e) \$(x-2)*(x+2)*(x-2) = frac{\pi}{2}\$

Buďte tak laskavi prosím, a od teď v sešitě domácích úkolů označujte úkoly nadpisem "Domácí úkol č.N" (za N dosaďte příslušné číslo).

Pokud se koeficient b=0 jedná se o ryze kvadratickou rovnici, která se řeší podobně, jako lineární rovnice. Tato rovnice má tedy základní tvar:

\$ax^2+c=0\$

Rovnici řešíme tak, že nejprve odečteme absolutní člen. Tedy odečteme od rovnice hodnotu c. Tím dostaneme:

\$ax^2 = -c\$

Dále vydělíme rovnici číslem a. Dostaneme tvar:

\$x^2=frac{-c}{a}\$

Nakonec celou rovnici odmocníme. Přitom musí platit, že zlomek na pravé straně nesmí být záporný, protože záporné číslo odmocnit nejde. Dostaneme výsledek:

\$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}\$, \$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}\$

Všimněme si, že dostaneme dva kořeny rovnice, jeden kladný a druhý záporný. Podíváme se na příklad.

\$2x^2 -8 = 0\$

Podle postupu nejprve odečteme absolutní člen c. V tomto případě odečítáme záporné číslo, tedy přičítáme kladné:

\$2x^2 = 8\$

Dále podle postupu vydělíme obě strany rovnice koeficientem a, což je v našem případě 2. Po vydělení dostaneme tvar:

\$x^2=4\$

Teď můžeme odmocnit.

\$x_1 = sqrt{4} = 2\$, \$x_2 = -sqrt{4} = -2\$

Jak to, že máme dva kořeny? Protože \$2*2=2^2=4\$ a \$(-2)*(-2)=(-2)^2=4\$.

Můžeme to ukázat i na grafickém řešení, protože graf funkce \$f(x)=2x^2-8\$ protíná osu x právě v bodech \$x_1=-2\$ a \$x_2=2\$.

Můžeme udělat zkoušku pro kořen \$x_1=-2\$:

\$L=2*(-2)^2-8 = 2*4-8 = 0\$, což se rovná pravé straně rovnice \$P=0\$.

pro kořen \$x_2=2\$:

\$L=2*2^2-8 = 2*4-8 = 0\$, což se rovná pravé straně rovnice \$P=0\$.

Všimněte si, že pokud u ryze kvadratické rovnice bude koeficient \$a>0\$ kladný a koeficient \$c<0\$ záporný, bude mít rovnice 2 řešení, které budou symetrické vůči 0.

Budou-li koeficienty \$a>0\$ a \$c>0\$ oba kladné, nebude mít rovnice řešení.

Obdobně, pokud bude koeficient \$a<0\$ záporný a koeficient \$c>0\$ kladný, bude mít rovnice 2 řešení, které budou symetrické vůči 0.

Budou-li koeficienty \$a<0\$ a \$c<0\$ oba záporné, nebude mít rovnice řešení.

Tento poznatek můžeme zobecnit. Mají-li koeficienty a,c různé znaménko, bude mít ryze kvadratická rovnice 2 symetrická řešení. Budou-li mít koeficienty a,c stejné znaménko, ryze kvadratická rovnice nebude mít řešení v oboru reálných čísel.

Další specifický případ kvadratické rovnice nastává, když se absolutní člen c rovná nule. Rovnice má základní tvar:

\$ax^2+bx=0\$

Tento typ rovnice se řeší vytýkáním neznámé:

\$x*(ax+b)\$ = 0

Zde můžeme rychle vidět výsledek. Rovnici máme ve tvaru součinu. Uvědomíme si, že součin je roven 0, pokud je některý činitel roven 0. Naše známé pravidlo "divide et impera".

Buďto \$x=0\$ nebo \$ax+b=0\$.

První kořen máme \$x_1=0\$ a druhý kořen dostaneme řešením lineární rovnice \$ax+b=0\$. Z matematiky lineárních rovnic víme, že tato rovnice má právě jedno řešení, které je rovno:

\$x=-frac{b}{a}\$

Takže kořeny kvadratické rovnice \$x*(ax+b)\$ = 0 můžeme zapsat jako:

\$x_1=0\$, \$x_2=-frac{b}{a}\$.

Ukážeme na příkladu, řešme rovnici:

\$6x^2+3x=0\$

Vytkneme x:

\$x*(6x+3)=0\$

První řešení je \$x_1=0\$ a druhý kořen rovnice dostaneme řešením lineární rovnice \$6x+3=0\$.

Dosadíme do vzorečku:

\$x=-frac{b}{a} = -frac{3}{6}= -frac{1}{2}\$.

Opět se můžeme podívat na graf funkce, který protíná osu x právě v těchto bodech:

Tolik ke speciálním tvarům kvadratické rovnice. Příště bude řešení kvadratické rovnice v obecném tvaru.

Řešte rovnice:

a) \$x^2-4 = 0\$

b) \$sqrt{9}*x^2 = abs(-9)\$ (není v tom žádná zákeřnost)

c) \$x^2-25=0\$

d) \$x^2+16=32\$

e) \$x^2-24=0\$

f) \$16x+32x^2=0\$.

Je to velmi lehké.