Квадратные уравнения

Для дальнейшей интерпретации важно, чтобы вы научились определять отдельные коэффициенты a, b и c.

Простой пример, определяем коэффициенты уравнения \$3x^2+5x+8=0\$.

Здесь все просто: \$a=3\$, \$b=5\$ и \$c=8\$.

Как будет, например, с уравнением \$5x^2 - x - 5 = 0\$?

Здесь коэффициент \$a=5\$, \$b=-1\$ a \$c=-5\$, потому что мы можем записать уравнение следующим образом:

\$5*x^2+(-1)*x+(-5) = 0\$.

Другой пример: \$x^2 - 3 = 0\$

Где находится коэффициент b? Коэффициент b равен 0.

Уравнение можно записать в виде: \$1*x^2+0*x+(-3)=0\$

Более сложный пример:

\$3x^2 + 3x + \pix = 0\$

Вот два ловца. Квадратичный член ясен \$a=3\$, но абсолютный член отсутствует, поэтому \$c=0\$ а где линейный член?

Немного изменим уравнение, подставив x:

\$5x^2 + (3+\pi)*x = 0\$

Коэффициент b — это то, что стоит перед переменной x, т. е. \$b = 3+\pi\$.

Еще одно уравнение:

\$-x^2+4x+1-sqrt{2}=0\$

Коэффициенты квадратичного и линейного членов очевидны: \$a=-1\$ и \$b=4\$ и что такое \$1-sqrt{2}\$?

\$1-sqrt{2}\$ - коэффициент абсолютного члена. У него нет \$x\$ или \$x^2\$.

Последний пример того, каким будет уравнение:

\$(x+1)*(x+2) = -2x\$

Умножаем скобки и получаем:

\$x^2+2x+x+2 = -2x\$ → \$x^2+3x+2=-2x\$

Прибавляем 2x к обеим частям уравнения и получаем:

\$x^2+5x+2=0\$

Мы уже можем видеть все коэффициенты: \$a=1\$, \$b=5\$ a \$c=2\$.

Определить, является ли уравнение квадратным, и, если да, преобразовать его в основную форму и определить его коэффициенты:

a) \$2x+6-x^2=0\$

b) \$5=12+x^2+2x-5x^2+2\$

c) \$x^2=2x+frac{3}{x}\$

d) \$(x+6)*(x-6)=6\$

e) \$(x-2)*(x+2)*(x-2) = frac{\pi}{2}\$

Будьте добры, и впредь в тетради для домашних заданий отмечайте задания заголовком «Домашнее задание № N» (после N подставляйте соответствующую цифру).

Если коэффициент b=0, то это чисто квадратное уравнение, которое решается аналогично линейному уравнению. Таким образом, это уравнение имеет основной вид:

\$ax^2+c=0\$

Мы решаем уравнение, сначала вычитая абсолютный член. Таким образом, мы вычитаем значение c из уравнения, что дает нам:

\$ax^2 = -c\$

Далее делим уравнение на число a. Получаем вид:

\$x^2=frac{-c}{a}\$

Наконец, возводим все уравнение в квадрат. В то же время должно быть верно, что дробь в правой части не должна быть отрицательной, потому что отрицательное число нельзя возвести в квадрат. Получаем результат:

\$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}\$, \$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}\$

Обратите внимание, что мы получаем два корня уравнения, один положительный и один отрицательный. Давайте посмотрим на пример.

\$2x^2 -8 = 0\$

Согласно процедуре сначала вычитаем абсолютный член c. В этом случае вычитаем отрицательное число, то есть прибавляем положительное:

\$2x^2 = 8\$

Далее по методике делим обе части уравнения на коэффициент a, который в нашем случае равен 2. После деления получаем вид:

\$x^2=4\$

Теперь мы можем извлечь квадратный корень.

\$x_1 = sqrt{4} = 2\$, \$x_2 = -sqrt{4} = -2\$

Почему у нас два корня? Потому что \$2*2=2^2=4\$ и \$(-2)*(-2)=(-2)^2=4\$.

Мы также можем показать это на графическом решении, потому что график функции \$f(x)=2x^2-8\$ пересекает ось x точно в точках \$x_1=-2\$ и \$x_2=2\$.

Можем сделать тест на корень \$x_1=-2\$:

\$L=2*(-2)^2-8 = 2*4-8 = 0\$, что равно правой части уравнения \$P=0\$.

для корня \$x_2=2\$:

\$L=2*2^2-8 = 2*4-8 = 0\$, что равно правой части уравнения \$P=0\$.

Обратите внимание, что для чисто квадратного уравнения, если коэффициент \$a>0\$ положительный и коэффициент \$c<0\$ отрицательный, уравнение будет иметь 2 решения, симметричных относительно 0.

Если оба коэффициента \$a>0\$ и \$c>0\$ положительны, уравнение не будет иметь решения.

Точно так же, если коэффициент \$a<0\$ отрицателен и коэффициент \$c>0\$ положителен, уравнение будет иметь 2 решения, симметричных относительно 0.

Если оба коэффициента \$a<0\$ и \$c<0\$ отрицательны, уравнение не будет иметь решения.

Мы можем обобщить это знание. Если коэффициенты a, c имеют разные знаки, чисто квадратное уравнение будет иметь 2 симметричных решения. Если коэффициенты а, с одного знака, то чисто квадратное уравнение не будет иметь решения в области действительных чисел.

Другой частный случай квадратного уравнения возникает, когда абсолютный член c равен нулю. Уравнение имеет основной вид:

\$ax^2+bx=0\$

Этот тип уравнения решается путем присвоения неизвестного:

\$x*(ax+b)\$ = 0

Здесь мы можем быстро увидеть результат. У нас есть уравнение в форме произведения. Мы понимаем, что произведение равно 0, если любой множитель равен 0. Наше знаменитое правило «разделяй и властвуй» (смех).

Будь то \$x=0\$ или же \$ax+b=0\$.

У нас есть первый корень \$x_1=0\$ а второй корень получается решением линейного уравнения \$ax+b=0\$. Из математики линейных уравнений мы знаем, что это уравнение имеет ровно одно решение, равное:

\$x=-frac{b}{a}\$

Итак, корни квадратного уравнения \$x*(ax+b)\$ = 0 мы можем написать как:

\$x_1=0\$, \$x_2=-frac{b}{a}\$.

Покажем на примере, решим уравнение:

\$6x^2+3x=0\$

указываем x:

\$x*(6x+3)=0\$

Первое решение \$x_1=0\$ а второй корень уравнения получается решением линейного уравнения \$6x+3=0\$.

Подставляем в формулу:

\$x=-frac{b}{a} = -frac{3}{6}= -frac{1}{2}\$.

Опять же, мы можем посмотреть на график функции, который пересекает ось x именно в этих точках:

TВот вам и специальные формы квадратного уравнения. В следующий раз решение квадратного уравнения будет в общем виде.

Решите уравнения:

a) \$x^2-4 = 0\$

b) \$sqrt{9}*x^2 = abs(-9)\$ (в нем нет злобы)

c) \$x^2-25=0\$

d) \$x^2+16=32\$

e) \$x^2-24=0\$

f) \$16x+32x^2=0\$.

Это очень легко.