Kvadratická rovnice je taková rovnice, kde se neznámá nachází v druhé mocnině.
Obecný tvar kvadratické rovnice je: \$a*x+b*x+c=0\$, kde \$a,b,c \in R\$; \$a \ne 0\$ je kvadratický koeficient, \$b\$ je lineární koeficient a \$c\$ je absolutní člen.
Nejprve vytkneme koeficient \$a\$ a poté celou rovnici vydělíme opět koeficientem \$a\$. Můžeme to udělat, protože je zaručeno, že \$a \ne 0\$.
\$a*(x^2+frac{b}{a}*x+frac{c}{a})=0\$
\$x^2+frac{b}{a}*x+frac{c}{a}=0\$
Dále doplníme na čtverec, tzn. budeme chtít, aby nám vznikl vzorec \$k^2+2kl+l^2=(k+l)^2\$. Docílíme to tak, že druhý člen rovnice \$frac{b}{a}*x\$ rozšíříme číslem \$2\$ a přičteme a odečteme člen \$frac{b^2}{4*a^2} = (frac{b}{2a})^2\$. Po těchto úpravách dostaneme vztah:
\$(x^2+frac{2b}{2a}*x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a}=0\$
\$(x^2+2*frac{b}{2a}*x+(frac{b}{2a})^2)-(frac{b}{2a})^2+frac{c}{a}=0\$
\$(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a}=0\$
Zbývající členy mimo závorku převedeme na společný jmenovatel. To uděláme tak, že zlomek \$frac{c}{a}\$ rozšíříme číslem \$4*a\$.
\$(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a^2}+frac{4*a*c}{4*a*a}=0\$
\$(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a^2}+frac{4ac}{4a^2}=0\$
a vytkneme \$(-1)\$ před závorku:
\$(x+frac{b}{2a})^2-(frac{b^2-4ac}{4a^2})=0\$
Další jednoduchou úpravou docílíme toho, že dostaneme z obou závorek vztah \$k^2-l^2=(k-l)*(k+l)\$. První závorka již vyhovuje, druhou upravíme tak, že ji celou umocníme na druhou a celý „vnitřek“ druhé závorky odmocníme:
\$(x+frac{b}{2a})^2 - (frac{sqrt{b^2-4*a*c}}{2*abs{a}})^2=0\$
a podle vzorce \$k^2-l^2=(k-l)*(k+l)\$ můžeme upravit:
\$(x+frac{b}{2a}-frac{sqrt{b^2-4ac}}{2*abs{a}})*(x+frac{b}{2a}+frac{sqrt{b^2-4ac}}{2*abs{a}})=0\$
Tato rovnice má řešení právě tehdy, když je alespoň jeden výraz v závorce roven nule, tj. když:
\$x_1+frac{b}{2a}-frac{sqrt{b^2-4ac}}{2*abs{a}}=0\$ nebo \$x_2+frac{b}{2a}+frac{sqrt{b^2-4ac}}{2*abs{a}}=0\$
Tedy kořeny kvadratické rovnice jsou:
\$x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}{2a}\$ a \$x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}{2a}\$
Pokud označíme \$D=b^2-4ac\$ jako diskriminant, tak dostáváme známý vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice:
\$x_(1,2) = frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}\$
Je-li diskriminant \$D=b^2-4ac\$
-
kladný: potom má kvadratická rovnice dva různé reálné kořeny \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}\$ a \$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}\$
-
nulový: potom má kvadratická rovnice dva stejné reálné kořeny (líbí-li se vám to více, má jeden reálný dvojnásobný kořen) \$x_1=x_2=-frac{b}{2a}\$
-
záporný: potom kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel neumíme odmocnit záporné číslo. Avšak má řešení v oboru komplexních čísel.
Poznámka: Slovo diskriminant neoznačuje nějakou diskriminaci v dnešním slova smyslu, ale pochází z latinského slova discriminare = rozlišovat. Pomocí diskriminantu snadno rozlišíme, zda má kvadratická rovnice v reálných číslech 2 kořeny, 1 kořen nebo nemá žádný kořen.
Vietovy vzorce
Už víme, jak vypočítat kořeny kvadratické rovnice. Jaký je ale mezi nimi vztah?
Zkusíme oba kořeny \$x_1\$ a \$x_2\$ sečíst:
\$x_1+x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}+frac{-b-sqrt{D}}{2a} = frac{-b+sqrt{D}-b-sqrt{D}}{2a} = frac{-2b}{2a} = -frac{b}{a}\$
Čili sečteme-li kořeny kvadratické rovnice \$a*x+b*x+c=0\$, získáme podíl \$-frac{b}{a}\$.
Co se stane, pokud kořeny mezi sebou vynásobíme?
\$x_1*x_2 = frac{-b+sqrt{D}}{2a}*frac{-b-sqrt{D}}{2a} = frac{b^2+b*sqrt{D}-b*sqrt{D}-D}{4a^2} = frac{b^2-D}{4a^2} = frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = frac{4ac}{4a^2} = frac{c}{a}\$
Není to krásné?
\$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ a \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
Těchto vzorců můžeme využít při hledání řešení kvadratických rovnic.
Ryze kvadratická rovnice \$ax^2+c=0\$ koeficient \$b=0\$.
Dosadíme koeficienty do Vietových vzorců:
\$x_1+x_2=-frac{0}{a} = 0\$; zde je vidět, jak jsou kořeny symetrické k nule: \$x_1=-x_2\$
\$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$(-x_2)*(x_2) = frac{c}{a}\$
\$(x_2)*(x_2) = frac{-c}{a}\$
\$(x_2)^2=frac{-c}{a}\$
\$x_2=sqrt{frac{-c}{a}}\$ a \$x_1=-sqrt{frac{-c}{a}}\$ Nevyšlo nám totéž v předchozí lekci?
Co můžeme říci o diskriminantu \$D=b^2-4ac\$ ? Pro ryze kvadratickou rovnici bude diskriminant
\$D=-4ac\$
Kdy nebude mít ryze kvadratická rovnice řešení v oboru reálných čísel?
Když bude \$-4*a*c<0\$
To znamená, že pokud budou koeficienty a a c oba kladné nebo oba záporné, nebude mít rovnice řešení, protože diskriminant bude záporný.
Pokud budou koeficienty a a c ryze kvadratické rovnice mít různá znaménka, potom bude mít rovnice řešení.
Kvadratická rovnice bez absolutního členu \$ax^2+b*x=0\$ koeficient \$c=0\$.
Dosadíme koeficienty do Vietových vzorců:
\$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$
\$x_1*x_2=frac{0}{a}\$; a tady je potvrzení, že jeden z kořenů je vždy 0.
Řekněme, že kořen \$x_1=0\$, potom z prvního vztahu \$x_2=-frac{b}{a}\$
Nevyšlo nám totéž? Jasně, že vyšlo.
Takže z Vietových vztahů je možné snadno odvodit vzorce pro výpočet kořenů jak u ryze kvadratické rovnice tak i kvadratické rovnice bez absolutního členu.
Ještě se podívejme, jak bude vypadat diskriminant kvadratické rovnice bez absolutního členu.
\$D=b^2-4*a*c = b^2-4*a*0 = b^2\$
Kdy je jakékoliv číslo umocněné na druhou nezáporné. Naprosto vždy.
Proto můžeme tvrdit, že kvadratická rovnice bez absolutního členu bude mít vždy aspoň jedno řešení.
Pokud bude koeficient \$b=0\$, tak bude mít rovnice jeden kořen, protože diskriminant \$D=0\$.
Pokud bude koeficient \$b \ne 0\$, tak bude mít rovnice dva kořeny, protože diskriminant \$D > 0\$.
Další informace a zdroje
Poznámka pro zvídavé: Pán, který našel Vietovy vzorce a může za to, že používáme písmenka pro neznámé a koeficienty v matematice, se jmenoval François Viète a žil v 16. století. Podrobnosti se můžete dočíst na Wikipedii
Pán, který si z písmenek v matematice dělá srandu se jmenuje Stephen Butler Leacock, v jeho humoristické knize Literární poklesky je velmi vypečená povídka "A, B a C (aneb matematika z lidské stránky)"
Kdo dočetl až sem, může si za odměnu přečíst A, B, a C (aneb matematika z lidské stránky)