Vinný sklep neboli skládání trubek

\$frac{n*(n+1)}{2}=100\$

po úpravě do obecného tvaru dostaneme: \$n^2+n-200=0\$

Koeficienty jsou: \$a=1, b=1, c=-200\$

Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=1^2-4*1*(-200)=1+800=801 \gt 0\$, což znamená, že rovnice bude mít dva reálné kořeny. Má to však jeden háček, o kterém jsme zatím neuvažovali. Hledáme číslo n (je to počet trubek v nespodnější řadě) a toto číslo musí být přirozené.

Kořeny jsou: \$n_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{-1+sqrt{801}}{2} \approx 13.650\$ a \$n_2=frac{-1-sqrt{801}}{2} \approx -14.650\$, což evidentně nejsou přirozená čísla a takto trubky nesrovnáme.

Jsme ve slepé uličce, musíme na to jinak.

Tady musíme sestavit rovnici jinak, především do ní musíme nějak zabudovat řady trubek, které nám chybí nahoře.

Mohlo by to být takto: součet_všech_trubek - součet_chybějících_trubek = 100

Číslem k označíme počet chybějících trubek v řadě nad nejvrchnější řadou (v našem obrázku č.4 bude k=5), součet chybějících (bílých) trubek je \$Ch=frac{k*(k+1)}{2}\$.

Číslem n označíme počet trubek v nejspodnější řadě (v našem obrázku č.4 bude n=10), součet všech (bílých i šedivých) trubek je \$V=frac{n*(n+1)}{2}\$.

Rozdíl \$V-Ch\$ je potom roven počtu trubek, které musíme skutečně vyskládat (na obrázku jsou šedivé).

\$frac{n*(n+1)}{2} - frac{k*(k+1)}{2} = 100\$

\$frac{n^2+n-k^2-k}{2}=100\$

\$n^2+n-k^2-k-200=0\$, to vypadá jako kvadratická rovnice, ale je to nějaké divoké. Máme zde n a také k, o nichž víme jenom tolik, že jsou to přirozená čísla.

Zkusíme následující postup. Budeme postupně za k dosazovat přirozená čísla, řešit rovnici pro proměnnou n a testovat, zda vyjdou kořeny v přirozených číslech. Bude to trochu rachota. Říkáme tomu, že parametrizujeme rovnici a parametrem je k.

Pro \$k=1\$ máme rovnici \$n^2+n-1^2-1-200\$, koeficienty: \$a=1,b=1,c=-202\$, diskriminant je \$D=809\$

Pro \$k=2\$ máme rovnici \$n^2+n-2^2-2-200\$, koeficienty: \$a=1,b=1,c=-206\$, diskriminant je \$D=825\$

Pro \$k=3\$ máme rovnici \$n^2+n-3^2-3-200\$, koeficienty: \$a=1,b=1,c=-212\$, diskriminant je \$D=849\$

Nebudeme počítat hlavou a rukama, protože by to bylo únavné a mohli bychom udělat řadu chyb a použijeme výpočetní techniku s Excelem nebo Libre Office Calcem.

Hele, vídíme přirozený kořen \$n=16\$ pro parametr \$k=8\$. Uděláme zkoušku. Dosadíme do naší rovnice.

\$L=frac{16*(16+1)}{2}-frac{8*(8+1)}{2}=8*17-4*9=136-36=100\$, což nám sedí s pravou stranou \$P=100\$.

Spočítali jsme, že nejspodnější řada obsahuje \$n=16\$ trubek a nejvrchnější řada obsahuje \$k+1=9\$ trubek.

Počet řad bude 8.

Posčítáme ještě jednou bez Gaussova vzorce \$t=16+15+14+13+12+11+10+9=100\$, skutečně jsme poskládali 100 trubek.

Zkusme počítat dále.

Ještě bylo nalezeno řešní pro \$k=17\$, kořen \$n=22\$

Zkusíme udělat zkoušku:

\$L=frac{22*(22+1)}{2}-frac{17*(17+1)}{2}=11*23-17*9=100\$, opět to vyhovuje pravé straně \$P=100\$

Posčítáme bez Gaussova vzorce: \$22+21+20+19+18=100\$

Můžeme poskládat 100 trubek i tak, že spodní řada bude mit 22 trubek a vrchní řada 18 trubek a počet řad bude 5.

Má cenu ještě počítat? Intuitivně cítíme, že parametr \$k \lt 100\$, protože jinak by počet chybějících trubek převyšoval počet trubek, které máme vyskládat a to je nesmysl.

Je nalezeno triviální řešení 100 trubek v jedné řadě, parametr \$k=99\$. To nemělo cenu počítat, protože to bylo jasné, ale výpočet potvdil, že to tak je. Rovnice je \$n^2+n-10100=0\$

Kdo by se chtěl podívat na Excelovou tabulku, tak je zde.

Porovnáme-li jednotlivá řešení, které jsme si namodelovali pomocí matematiky tak vidíme, že každé řešení má své výhody a nevýhody.

První správné řešení je úsporné vzhledem k zabrané ploše, vyžaduje však zdvihání trubek do větší výšky. Stačí nám na to ještěrka nebo jeřáb?

Druhé řešení zabírá větší plochu, ale zdviháme do menší výšky. Budeme-li např. platit za skladovací plochu, je to horší řešení, než první.

Třetí řešení problému s trubkami zabírá největší plochu, ale trubky nikam nemusíme zdvihat, mužeme je klidně koulet. O zabrané ploše se nemusíme bavit, je jednoznačně největší.