Rovnice s absolutními hodnotami - výklad

a) \$abs{x} = 6\$

b) \$abs{x} = 0\$

c) \$abs{x} = -2\$

Označíme-li K množinu všech řešení příslušné rovnice, potom platí:

a) \$K = {-6, 6}\$

b) \$K = {0}\$

c) \$K = {\emptyset}\$ nemá řešení, neboli řešení je prázdná množina, neboť \$abs{x}>=0\$ pro každé reálné číslo

\$abs{x-5} = 2\$

Abychom mohli použít definici absolutní hodnoty, musíme vědět, je-li výraz \$x-5\$ nezáporný, nebo záporný. Proto množinu reálných čísel R rozdělíme nulovým bodem tohoto výrazu, tj. číslem \$x=5\$, na dva disjuktní intervaly \$(-\infty, 5)\$ a \$\langle 5, \infty)\$ V každém intervalu vyřešíme danou rovnici zvlášť.

a) Uvažujme \$x \in (-\infty, 5)\$. Potom \$x-5 <0\$ a \$abs{x-5} = -(x-5) = 5-x\$. Pro uvažované x tedy řešíme rovnici

\$5-x = 2\$, odkud \$x=3\$.

Protože \$3 \in (-\infty, 5)\$, dostáváme v intervalu \$(-\infty, 5)\$ jediné řešení \$x=3\$.

b) Uvažujme \$x \in \langle 5, \infty)\$. Potom \$x-5>=0, abs{x-5} = x-5\$ a daná rovnice přejde na tvar

\$x-5=2\$, odkud je vidět řešení \$x=7\$.

Protože \$7 \in \langle 5, \infty)\$, dostáváme v intervalu \$\langle 5, -\infty)\$ jediné řešení \$x=7\$.

Množina K všech řešení dané rovnice v reálných číslech R je sjednocením množin všech jejich řešení v obou uvažovaných intervalech, tj.:

\$K = {3} \cup {7} = {3, 7}\$

Vycházejme z geometrické představy. Číslo \$abs{x-5}\$ je rovno vzdálenosti obrazu čísla x od obrazu čísla 5 na číselné ose. Proto číslo x je řešením rovnice \$abs{x-5} = 2\$ právě tehdy, když vzdálenost jeho obrazu od obrazu čísla 5 je rovna 2. Taková čísla existují dvě, a to pro \$x_1 = 3\$ a \$x_2 = 7\$.

a) \$abs{x+3} = 4\$

b) \$abs{frac{2}{3} - x} = 6\$

c) \$abs{2*x -3} = 1\$

Budeme vycházet z geometrické představy, viz 2. způsob řešení předcházejícího příkladu. Nejprve však každou rovnici upravíme na tvat \$abs{x-a} = r\$ kde \$a,r \in R\$. Množinu všech řešení budeme ve všech třech případech značit K.

a) \$abs{x+3} = 4\$

\$abs{x - (-3)} = 4\$

\$K = {-7, 1}\$

b) \$abs{frac{2}{3}-x} = 6\$

\$abs{-(frac{2}{3} - x)} = 6\$

\$abs{x - frac{2}{3}} = 6\$

\$K = {-frac{16}{3}, frac{20}{3}}\$

c) \$abs{2x - 3} = 1\$

\$abs{2*(x - frac{3}{2})} = 1\$

\$abs{2}*abs{x-frac{3}{2}} = 1\$

\$abs{x-frac{3}{2}} = frac{1}{2}\$

\$K = {1, 2}\$

Obrázek dodělejte za domácí úkol.

\$abs{x-2} + abs{2x-8} = 5\$

Nulové body dvojčlenů uvnitř absolutních hodnot jsou 2 a 4. Těmito body rozdělíme množinu R na tři intervaly \$(-\infty, 2)\$, \$\langle 2,4)\$ a \$\langle 4, \infty)\$. Jak se v těchto intervalech "chovají" dvojčleny uvnitř absolutních hodnot i absolutní hodnoty samé, přehledně zachytíme v tabulce:

Využijeme poslední dva řádky tabulky a rovnici vyřešíme v každém intervalu zvlášť.

Množina M všech řešení dané rovnice je sjednocením množin všech jejích řešení ve všech třech intervalech.

a) \$abs{-x} = 4\$

b) \$abs{sqrt{3}*x} = 3\$

c) \$abs{3 + 4*x} = 0\$

d) \$abs{1 - frac{2}{3}*x} = -1\$

e) \$abs{x-2} = abs{2-x}\$

f) \$abs{x+frac{1}{2}*\pi} = - abs{x+frac{1}{2}*\pi} \$

Kdo chyběl na hodině, je povinnen domácí úkol vypracovat. Výklad řešení je nahoře. Pokud někdo nevypracoval domácí úkol, tak se přijímá jediná omluva a tou je vlastní smrt. Vypracování domácího úkolu očekávám do pondělí 7. 11. 2022.