Уравнения с абсолютными значениями - лекция

а) \$abs{x} = 6\$

б) \$abs{x} = 0\$

c) \$abs{x} = -2\$

Если обозначить через K множество всех решений соответствующего уравнения, то:

а) \$К = {-6, 6}\$

б) \$K = {0}\$

c) \$K = {\emptyset}\$ не имеет решения, т. е. решение представляет собой пустое множество, так как \$abs{x}>=0\$ для каждого действительного числа.

\$abs{x-5} = 2\$

Чтобы использовать определение абсолютного значения, нам нужно знать, является ли выражение \$x-5\$ неотрицательным или отрицательным. Поэтому мы делим множество действительных чисел R нулевой точкой этого выражения, т.е. числовой \$x=5\$, на два непересекающихся интервала \$(-\infty, 5)\$ и stem :[\langle 5,\infty)] На каждом интервале решаем данное уравнение отдельно.

а) Рассмотрим \$x \in (-\infty, 5)\$. Затем \$x-5 <0\$ и \$abs{x-5} = -(x-5) = 5-x\$.

Итак, для рассматриваемого x решаем уравнение:

\$5-x = 2\$, откуда \$x=3\$.

Так как \$3 \in (-\infty, 5)\$, мы получаем единственное решение \$x=3\$ в интервале \$(-\infty, 5)\$.

б) Рассмотрим \$x \in \langle 5, \infty)\$. Тогда \$x-5>=0, abs{x-5} = x-5\$ и данное уравнение принимает вид

\$x-5=2\$, из которого можно увидеть решение \$x=7\$.

Так как \$7 \in \langle 5, \infty)\$, мы получаем в интервале \$\langle 5, -\infty)\$ единственное решение \$x=7\$.

Множество K всех решений данного уравнения в действительных числах R есть объединение множеств всех их решений в обоих рассматриваемых интервалах, т.е.:

\$K = {3} \cup {7} = {3, 7}\$

Начнем с геометрической идеи. Основа числа \$abs{x-5}\$ равна расстоянию изображения числа x от изображения числа 5 на числовой прямой. Следовательно, число x является решением основы уравнения \$abs{x-5} = 2\$ тогда и только тогда, когда расстояние от его образа до изображения числа 5 равно 2. Таких чисел два: \$x_1 = 3\$ и \$x_2 = 7\$.

а) \$abs{x+3} = 4\$

б) \$abs{frac{2}{3} - x} = 6\$

c) \$abs{2*x -3} = 1\$

Начнем с геометрической идеи, см. 2-й способ решения предыдущего примера. Однако сначала мы настраиваем каждое уравнение на основу: [abs{x-a} = r], где основу: [a,r \in R]. Мы будем обозначать множество всех решений во всех трех случаях через K.

а) \$abs{x+3} = 4\$

\$abs{х - (-3)} = 4\$

\$K = {-7, 1}\$

б) \$abs{frac{2}{3}-x} = 6\$

\$abs{-(frac{2}{3} - x)} = 6\$

\$abs{x - frac{2}{3}} = 6\$

\$K = {-frac{16}{3}, frac{20}{3}}\$

c) \$abs{2x - 3} = 1\$

\$abs{2*(x - frac{3}{2})} = 1\$

\$abs{2}*abs{x-frac{3}{2}} = 1\$

\$abs{x-frac{3}{2}} = frac{1}{2}\$

\$К = {1, 2}\$

Закончи картинку для домашнего задания.

\$abs{х-2} + abs{2х-8} = 5\$

Нулевые точки двучленов внутри абсолютных значений равны 2 и 4. С помощью этих точек мы делим множество R на три интервала: \$(-\infty, 2)\$, \$\langle 2,4)\$ и \$\langle 4, \infty)\$. Как биномы внутри абсолютных значений и сами абсолютные значения «ведут себя» в этих интервалах, хорошо видно из таблицы:

Воспользуемся двумя последними строками таблицы и решим уравнение на каждом интервале отдельно.

Множество M всех решений данного уравнения есть объединение множеств всех его решений во всех трех интервалах.

a) \$abs{-x} = 4\$

b) \$abs{sqrt{3}*x} = 3\$

c) \$abs{3 + 4*x} = 0\$

d) \$abs{1 - frac{2}{3}*x} = -1\$

e) \$abs{x-2} = abs{2-x}\$

f) \$abs{x+frac{1}{2}*\pi} = - abs{x+frac{1}{2}*\pi} \$

Те, кто пропустил урок, должны выполнить домашнее задание. Интерпретация решения выше. Если кто-то не сделал свою домашнюю работу, единственное приемлемое оправдание — его собственная смерть. Я ожидаю, что домашнее задание будет выполнено к понедельнику, 7 ноября 2022 года.