\(\boxed{1}\) Zopakujte si pojem inverzní funkce k dané funkci. Pro které funkce se funkce k nim inverzní definují?
Odpovědi najdete v článku o inverzních funkcích.
\(\boxed{2}\) Vraťte se k větě uvedené o grafech funkcí \(f\) a \(f^{-1}\) sestrojených v téže soustavě souřadnic \(0xy\). S jejím využitím pak nakreslete graf funkce inverzní k funkci
Stejný úkol řeště pro exponenciální funkci \(n: y=(\frac{1}{2})^x\).
Funkce \(m^{-1}\) je logaritmická funkce o základu 2. Funkce \(n^{-1}\) je logaritmická funkce o základu \(\frac{1}{2}\).
Logaritmická funkce o základu \(a\) je funkce, která je inverzní k exponenciální funkci \(y=a^x\);
\(a\ne 1\) je libovolné kladné číslo různé od jedné.
Zapisujeme: \(\mathbf{y=log_{a}x}\)
Uvažujme exponenciální funkci \(f: y=a^x\). Pro hodnotu funkce \(f^{-1}\), která je přiřazena číslu \(x\), se volí speciální označení: \(\mathbf{log_{a} x}\), čteme "logaritmus \(x\) o základu \(a\)" nebo "logaritmus o základu \(a\) z čísla \(x\)". V souladu s tímto označením budeme logaritmickou funkci \(f^{-1}\) o základu \(a\) zapisovat ve tvaru
Definičním oborem logaritmické funkce \(f^{-1}\) je množina \((0, + \infty)\); to plyne z toho, že obor hodnot funkce \(f: y=a^x\) je \((0,+ \infty)\).
\(\boxed{3}\) Nakreslete grafy těchto logaritmickéch funkcí:
-
\(y=log_{3}x,\ y=log_{4}x,\ y=log_{10}x\)
-
\(y=log_{\frac{1}{3}}x,\ y=log_{\frac{1}{4}}x,\ y=log_{\frac{1}{10}}x\)
Poznámka: V GeoGebře se logaritmické funkce dělají pomocí příkazu f(x)=log(<b>, <x>), kde místo <b> se dosadí základ, a místo <x> x. Logaritmická funkce o základu 10 se může dělat příkazem g(x)=lg(x) nebo g(x)=log10(x).
Uvedeme bez důkazů vlastnosti funkce \(y=log_{a}x\), jednak pro \(a>1\) a potom pro \(0<a<1\).
| základ \(\mathbf{a>1}\) | základ \(\mathbf{0<a<1}\) |
|---|---|
|
|
Definiční obor \((0, +\infty)\) |
Definiční obor \((0, +\infty)\) |
Obor hodnot \(R\) (všechna reálná čísla) |
Obor hodnot \(R\) (všechna reálná čísla) |
Je rostoucí, a tedy je prostá. |
Je klesající, a tedy je prostá. |
Není ani shora, ani zdola omezená. |
Není ani shora, ani zdola omezená. |
Nemá v žádném bodě maximum ani minimum. |
Nemá v žádném bodě maximum ani minimum. |
Funkční hodnota v bodě \(1\) je \(0\) |
Funkční hodnota v bodě \(1\) je \(0\) |
Logaritmus
Když napíšeme například \(2^3=8\), pak inverzní logaritmická funkce nám dá vztah \(log_2 8=3\). Co je to logaritmus?
Logaritmus je exponent (3), na který musíme umocnit základ (2), abychom získali argument x (8).
Důležité logaritmické funkce
Některé logaritmické funkce jsou obzvláště důležité. Konkrétně se jedná o „přirozený logaritmus“, který má jako základ Eulerovo číslo. To značíme písmenem \(\mathbf{e}\). Jedná se o iracionální číslo, tedy o číslo s nekonečným desetinným rozvojem. Jeho přibližná hodnota je \(\mathbf{e = 2.718281828\dots}\) Přirozený logaritmus zapisujeme buď jako \(log_e\ x\) nebo jednodušeji jako \(\mathbf{ln\ x}\). To písmeno „n“ tam je z latinského „logaritmus naturalis“, ale na zapamatování vám postačí angličtina, kde je to podobné: „natural“ = „přirozený“.
Dalším významným logaritmem je „dekadický logaritmus“, což je logaritmická funkce o základu deset. Obyčejně jej zapisujeme buď jako \(log_{10}\ x\) nebo pouze \(\mathbf{log\ x}\). Pokud u logaritmu není uveden základ, předpokládá se základ 10.
Věty o logaritmech (vzorce)
Následují některé důležité vztahy a vzorce, které o logaritmech můžeme říci:
Předpokládejme, že \(a\) je základ logatitmu, tj. \(a>0, a\ne1\). Dále nechť \(x_1\) a \(x_2\) jsou libovolná kladná reálná čísla. Značka \(\forall\) se čte "pro všechna".
Pak platí:
\begin{aligned} \large log_{a}(x_1\cdot x_2) &=log_{a} x_1 +log_{a} x_2 \\ \large log_{a}(\frac{x_1}{x_2}) &=log_{a} x_1 - log_{a} x_2\\ \large log_{a}x^r &= r\cdot log_{a} x \qquad \forall x\in R\\ \large log_{a} \sqrt[n]{x} &=\frac{1}{n}log_{a} x \qquad \forall n\in N\\ \end{aligned}
Některé vztahy, které plynou přímo z definice logaritmu:
Jak pomocí přirozeného logaritmu vyjádřit jiný logaritmus
Občas se stává, že například na kalkulačce nemáme k dispozici logaritmus o libovolném základu, ale jen přirozený a dekadický. Co dělat v případě, že potřebujete vypočítat logaritmus o jiném základu? Existuje vzorec, který vám pomůže. Platí totiž, že:
\begin{aligned} log_a\ x = \frac{log_b\ x}{log_b\ a} \end{aligned}
Pokud si za hodnotu \(b\) zvolíme Eulerovo číslo, získáme tím vzorec:
Výše jsme potřebovali vypočítat logaritmus čísla 8 o základu 2. Toto můžeme pomocí přirozeného logaritmu vypočítat takto:
Výpočet si zase můžeme zkontrolovat na kalkulačce. Nemusíte ale používat přirozený logaritmus, můžete použít klidně i dekadický, vzorec to umožňuje. Takže stejně tak platí:
