Existuje spousta rovnic, které neumíme spočítat. Třeba rovnici \(2^x+x-4=0\). Dají se ovšem řešit graficky poměrně snadno s pomocí GeoGebry.

Rovnici

\[\tag{1} 2^x+x-4=0\]

si upravíme takto:

\[\tag{2} 2^x=-x+4\]

Na levé straně rovnice vidíme předpis exponenciální funkce, na pravé straně rovnice vidíme předpis lineární funkce. Nakreslíme si v Geogebře tyto dvě funkce a jejich průsečík nám ukáže řešení.

X-ová souřadnice průsečíku je námi hledané řešení.

Uděláme zkoušku početně, dosadíme do rovnice (1) za \(x=1.3862\):

\[\begin{aligned} L(1.3862) &= 2^{1.3862} + 1.3862 - 4 = 2.613892845 +1.3862-4 = 0.000092845 \\ P(1.3862) &= 0 \end{aligned}\Biggr\}\implies L(1.3862)\approx P(1.3862)\]

Je tam drobná zaokrouhlovací chyba, což ovšem nijak nevadí. (Matematická značka \(\implies\) se čte: z toho plyne nebo implikuje)

Tento postup můžeme použít pro libovolně složité rovnice. Pokud průsečík funkcí nenalezneme, tak rovnice nemá řešení, což se klidně může stát.

Tady řešení nenalezneme:

\[\tag{3} 2^x-x+4=0\]

Tady budeme mít řešení dvě:

\[\tag{4} 2^x-x-4=0\]

Další příklad

\[\tag{5} 2^x=4^{x-1}\]

Na levé straně vidíme exponenciální funkci, na pravé straně vidíme také předpis exponenciální funkce.

Geogebra celkem snadno spočítala řešení \(x=2\). Dvojka je hezké číslo, zkusíme rovnici spočítat početně.

Funkce \(f: y=2^x\) je prostá (jako všechny exponenciální funkce). Platí tedy \(2^s=2^t \iff s=t\). (Matematická značka \(\iff\) se čte: právě tehdy, když nebo je ekvivalentní s)

Obecně platí: \(a^s=a^t \iff s=t\). Dvě mocniny o stejném základu se rovnají právě tehdy, rovnají-li se jejich exponenty.

Pokusíme se upravit pravou stranu rovnice tak, abychom dostali mocninu o stejném základu. Použijeme věty o mocninách.

\[4^{x-1}=(2^2)^{x-1}=2^{2\cdot(x-1)}\]

Tedy

\[\tag{6} 2^x=2^{2\cdot(x-1)} \iff x=2(x-1) \\ x=2\]

Rovnice bez udělané zkoušky není spočítaná rovnice, proto ještě zkouška:

\[\begin{aligned} L(2) &= 2^{2} = 4 \\ P(2) &= 4^{2-1}= 4^1=4 \end{aligned}\Biggr\}\implies L(2) = P(2)\] 
Poznámka: Obrázek nám ukazuje, že v od bodu -6 směrem do minus nekonečna se funkce dotýkají, ale je to klam. Stačí změnit měřítko a uvidíme, že se nedotýkají.
Toto je nevýhoda této metody řešení rovnic.
Poznámka 2: Obrázek nám ukazuje,že v minus nekonečnu by mohl být další průsečík, ale nenechme se svést. Takové řešení je k ničemu, protože pořádně nevíme, co to nekonečno je.