Pokuste se odpovědět na tyto otázky:

  1. Myslíte si, že každá lineární funkce je prostá?

  2. Domníváte se, že každá lineární funkce je rostoucí, nebo klesající?

  3. Uměli byste rozhodnout, pro která \$a \in R\$ je lineární funkce \$y=a*x+b\$ rostoucí; klesající? Závisí tyto vlastnosti na hodnotě \$b\quad\$?

Lineární funkce \$y=a*x+b\$

  1. je rostoucí pro \$\mathbf{ a > 0 }\$

  2. je klesající pro \$\mathbf{ a < 0 }\$

  3. není prostá, je-li \$\mathbf{ a=0 }\$

Důkaz:

  1. Chceme ukázat, že pro každé \$a>0\$ je funkce \$y=a*x+b\$ rostoucí.
    K tomu je třeba podle definice rostoucí funkce ověřit, zda platí:
    Jsou-li \$\mathbf{x_1,x_2 \in R}\$, pro něž \$\mathbf{x_1<x_2}\$, pak je též \$\mathbf{a*x_1+b<a*x_2+b}\$.
    Předpokládejme tedy, že \$\mathbf{x_1<x_2}\$: pak je \$\mathbf{a*x_1<a*x_2}\$ (neboť \$\mathbf{a>0}\$) a též \$\mathbf{a*x_1+b<a*x_2+b}\$.
    Tím je důkaz první části proveden.

  2. Důkaz je obdobný jako v první části.
    Předpokládejme, že \$\mathbf{x_1<x_2}\$: pak je \$\mathbf{a*x_1>a*x_2}\$ (neboť \$\mathbf{a<0}\$) a též \$\mathbf{a*x_1+b>a*x_2+b}\$.

  3. Je-li \$\mathbf{a=0}\$, pak jde o konstantní funkci \$\mathbf{y=b}\$, která přiřazuje všem prvkům svého definičního oboru číslo \$\mathbf{b}\$.
    Funkce \$y=b\$ tedy není prostá, neboť pro ni neplatí: Jsou-li \$\mathbf{x_1,x_2}\$ dvě různá čísla z definičního oboru, pak jsou různé i funkční hodnoty v bodech \$x_1\$ a \$x_2\$.

Vlastnosti parametrů a, b lineární funkce

Všimněme si nyní blíže čísel \$a, b\$ v lineárná funkci \$y=ax+b\$.

Poznámka: V některé literatuře můžete narazit na y = kx + q
Je to naprosto to samé, místo písmenka a použili písmenko k a místo písmenka b použili písmenko b.

Nejprve se budeme věnovat parametru b.

V lineární funkci \$y=ax+b\$ udává \$b\$ hodnotu funkce v bodě 0: pro \$x=0\$ je totiž \$ax+b=a*0+b=b\$.

V grafu lineární funkce \$\mathbf{y=ax+b}\$ je tedy \$\mathbf{b}\$ y-ovou souřadnicí toho bodu, jehož x-ová souřadnice se rovná 0.

Ve speciálním případě konstantní funkce \$y=b\$ je číslo \$b\$ funkční hodnotou v každém jejím bodě.

Zvolíme libovolné číslo \$x_1 \in R\$ a vypočítáme rozdíl hodnot funkce \$y=ax+b\$ v bodech \$x_1+1\$ a \$x_1\$.
Volíme podle obrázku nejdříve \$a>0\$.

\$\[a*(x_1+1)+b] - (ax_1+b) = ax_1+a+b-ax_1-b = a \$

Číslo \$a>0\$ tedy udává přírůstek funkční hodnoty při vzrůstu hodnoty proměnné \$x\$ o jedna.

Proveďte sami obdobné úvahy pro případy \$a<0\$ a \$a=0\$. Při úvahách můžete použít posuvníky v výše uvedené konstrukci a bude to krásně vidět.

Úvahu zobecníme: Zůstaneme u té samé lineární funkce \$y=ax+b\$, nadále ji budeme označovat písmenem \$f\$.
Hodnoty této funkce ve dvou různých bodech \$x_1, x_2\$ jsou po řadě \$f(x_1)=a*x_1+b, f(x_2)=a*x_2+b\$. Uděláme rozdíl těchto funkčních hodnot a dostaneme:

\$f(x_2)-f(x_1)=(a*x_2+b) - (a*x_1+b)\$

\$f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)\$

\$a=frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\$

Získaný závěr můžeme formulovat takto:

Pro číslo \$a\$ v lineární funkci \$f: y=ax+b\$ platí

\$a=frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\$

kde \$x_1,x_2\$ jsou libovolně zvolená, vzájemně různá reálná čísla.

Je-li v uvedené větě speciálně \$x_2=x_1+1\$ a \$a\$ je kladné číslo, dostáváme případ výše nakreslený v Geogebře.

Z výše uvedeného nákresu v Geogebře je vidět, že číslo \$a>0\$ je tangens úhlu \$\alpha\$, který svírá přímka (zelená), jež je grafem funkce \$y=ax+b\$, s kladnou poloosou \$x\$.

Definice: Poměr protilehlé odvěsny ku přilehlé odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku se nazývá tangens úhlu \$\alpha\$, značíme \$tan(\alpha)\$ nebo \$tg(\alpha)\$. Úhel \$\alpha\$ je úhel, který svírá v pravoúhlem trojúhelníku přilehlá odvěsna s přeponou.

V našem obrázku je úsečka AB přepona (zelená), protilehlá odvěsna je úsečka BC (červená), přilehlá odvěsna je úsečka AC (modrá). Úhel alfa je úhel BAC (bod A je vrchol úhlu).

Pro číslo \$a\$ v lineární funkci \$f: y=ax+b\$ platí

\$a=frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = tan(\alpha)\$

kde \$x_1,x_2\$ jsou libovolně zvolená, vzájemně různá reálná čísla.
Úhel \$\alpha\$, je úhel, který svírá přímka, jež je grafem funkce \$f: y=ax+b\$ s kladnou poloosou \$x\$.

Příklad 8.1

Pro lineární funkci \$h\$ platí: \$h(0)=2, h(-3)=5\$. Vyjádřete funkci \$h\$ předpisem \$y=ax+b\$.

Řešení 8.1

Daný úkol bychom mohli řešit tak, že bychom sestavili soustavu rovnic o dvou neznámých \$a,b\$ a tu bychom vyřešili.

Zvolíme jiný postup. Využijeme poznatky, které jsme získali dnes.

Hledaná funkce má v bodě 0 hodnotu 2, tedy parametr \$b=2\$.

Parametr \$a\$ vypočítáme podle věty:

\$a=frac{h(0)-h(3)}{0-(-3)}=frac{2-5}{3}=-1\$

Předpis funkce h bude \$h: y=-x+2\$. A je to.

Kdo si nechce pamatovat dnešní větu, tak bude muset počítat složitě takto:

\$2=a*0+b\$
\$5=a*(-3)+b\$

\$2=b\$ // dosadíme hodnotu b do druhé rovnice
\$5=a*(-3)+b\$

\$5=a*(-3)+2\$
\$5-2=-3*a\$
\$3=-3*a\$
\$a=-1\$

Předpis funkce h bude \$h: y=-x+2\$.

Vyjde nám to taky. Tento postup je universální, protože nepotřebujeme nezbytně znát funkční hodnotu funkce \$h\$ v bodě 0.

Bonus č.1

Pokud budeme mít libovolnou funkci, v jejímž předpise se bude vyskytovat konstatní parametr (v našem případě je to \$b\$), potom změnou tohoto konstantního parametu se graf funkce posunuje nahoru nebo dolu.

Bonus č.2

Graf funkce tangens: \$tan(\alpha)\$, úhel \$frac{\pi}{2}\$ v radiánech odpovídá úhlu 90°, úhel \$\pi\$ v radiánech odpovídá úhlu 180° atd. Na grafu má vodorovná osa \$\alpha\$ měřítko v radiánech.
Všiměte si, že funkce tangens není definována pro body, které odpovídají lichému násobku čísla \$frac{\pi}{2}\$ v radiánech, to znamená není definována pro úhly \$... \alpha=-270°, \alpha=-90°, \alpha=90°, \alpha=270°, \alpha=450° ...\$.

Domácí úkol 16

Úloha 16.1

Napište 3 příklady lineárních funkcí, které jsou rostoucí, klesající a konstantní. (Celkem 9 funkcí.)

Úloha 16.2

Načrtněte pravítkem a tužkou na papír, nebo nakreslete v GeoGebře, graf lineární funkce pro kterou platí: . \$a=0.5, b=-1\$ . \$a=-2, b=0.8\$

Úloha 16.3

Pro lineární funkci \$y=ax+b\$ platí: \$b=-3\$, funkční hodnota v bodě 2 je rovna 5. Je tato funkce rostoucí a nebo klesající? Vypočítejte parametr \$a\$.

Úloha 16.4

O lineární funkci \$m\$ je známo, že \$m(1)=1.5, m(-2)=-9\$. Je funkce \$m\$ rostoucí nebo klesající? Vyjádřete funkci \$m\$ předpisem \$y=ax+b\$.

Řešení úlohy 16.4 zde

Kdo bude řešit úlohy GeoGebrou, výsledky posílejte emailem na jirka@lixis.cz. Předmět mailu "domácí úkol č. 16". Prosím pošlete mailem nejenom příslušné ggb soubory pojmenované uloha_16_N_Prijmeni_Jmeno.ggb, ale i slovní odpověď celou větou na jednotlivé otázky. Ať se v tom vyznám.

Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv. Kdo namastí nesouvislou změť nějakých čar a bude to vydávat za úkol, tak dostane kuli také. Důrazně doporučuji na grafy čtverečkovaný papír.

Na závěr video: pěkná paní (nebo slečna) matikářka z ČVUT vysvětluje lineární funkce. (Ovšem má tam drobné chyby, např. x=4 není bohužel funkce.).