O lineární funkci \$m\$ je známo, že \$m(1)=1.5, m(-2)=-9\$. Je funkce \$m\$ rostoucí nebo klesající? Vyjádřete funkci \$m\$ předpisem \$y=ax+b\$.
Řešení
1. způsob - početně.
Máme dva body z grafu funkce \$A\[1; 1.5]\$ a \$B\[-2; -9\$]. To znamená že umíme sestavit dvě rovnice a ty vyřešit. Rovnice sestavíme tak, že do obecného vztahu lineární funkce \$y=a*x+b\$ dosadíme za \$x\$ a \$y\$ konkrétní hodnoty, které známe.
\$1.5=a*1+b\$
\$-9=a*(-2)+b\$
Soustavu vyřešíme. První rovnici vynásobíme 2 a obě rovnice sečteme, tím nám vypadne z rovnic proměnná \$a\$.
\$2*1.5=2*a+2*b\$+ \$-9=-2*a+b\$
\$3=2*a+2*b\$+ \$-9=-2*a+b\$ // sečteme rovnice
\$-6=3*b\$
a máme \$b=-2\$ vypočtené \$b\$ dosadíme třeba do 1. rovnice
\$1.5=a-2\$ a hned spočítáme \$a=3.5\$
Máme hotovo, funkce vypadá takto: \$m: y=3.5*x-2\$. \$a>0\$ a z toho plyne, že je funkce rostoucí.
Početní řešení je nejlepší, je naprosto přesné. Pokud neumíme přesně rýsovat, nebo máme nějaká nepěkná čísla, tak je to jediná možnost, jak úlohu vyřešit.
2. způsob - graficky GeoGebrou.
-
naneseme 2 body A a B o souřadnicích \$A(1, 1.5)\$ a \$B(-2, -9)\$
-
spojíme je přímkou a máme graf funkce
-
využijeme poznatku, že vzdálenost průsečíku grafu lineární funkce s osou \$y\$ od 0 je hodnota koeficientu \$b=-2\$
-
dále víme, že koeficient \$a=tg(\alpha)\$, přičemš úhel stem[\alpha] svírá přímka s osou stem[x]
-
změříme úhel a spočítáme tangentu, vidíme že \$tg(\alpha)=3.5\$
Naše funkce \$m(x)\$ vypadá takto: \$y=3.5x-2\$
U obou řešení nám vyšly stejné výsledky, je to díky tomu, že v Geogebře se dá rýsovat velmi přesně. Pokud bychom to řešili tužkou na papíře, tak by se mohlo stát, že odečteme špatně úhel.
Poznámka: GeoGebra je dobrý program. Pokud se podíváme na 3. řádek, tak máme předpis funkce určen. Nemusíme malovat úhly a počítat tangenty. Jenom musíme vztah -10.5x+3y=-6 vydělit 3 a upravit do tvaru y=3.5x-2. A je hotovo.
3. způsob - graficky na papíře.
Využijeme poznatku, že u lineární funkce je \$a=frac{m(x_1)-m(x_2)}{x_1-x_2}\$. Změříme si vzdálenost \$m(x_1)-m(x_2)=abs(AC) = 105 mm\$ a \$x_1-x_2=abs(BC)=30 mm\$
\$a=frac{105}{30}=3.5\$. Koeficient \$b\$ je vzdálenost průsečík grafu funkce s osou \$y\$ od 0. \$b=-2\$
Měřítko grafu: 1 jednotka = 10 mm, funkce má předpis \$m: y=3.5x-2\$
Tento příklad je velmi vhodný kandidát na to, že by se mohl objevit v budoucím testu z matematiky.