Rostoucí a klesající funkce, funkce prostá

Ná následujícím obrázku jsou grafy funkcí \$f:\quad y=x-2\$ a \$g:\quad y=-2x+1\$ s definičním oborem \$x \in R\$.

Co lze z grafů funkcí \$f(x)\$ a \$g(x)\$ vyčíst?

Co to znamená? Vezmeme-li dvě libovolná \$x_1\$, \$x_2\$ z definičního oboru funkce, pro která platí \$x_1 < x_2\$, pak pro funkční hodnoty bude platit:

Podívejme se na tuto funkci. Je to funkce rostoucí? Je to funkce klesající?

Funkce není ani rostoucí, ani klesající. V jedné části definičního oboru \$x \in (-3;-1)\$ hodnoty funkce s růstem proměnné \$x\$ rostou, ve druhé části \$x \in (1;5)\$ hodnoty funkce klesají.

Abychom mohli přesněji popsat průběh funkce \$s\$, vyslovíme ještě jednu definici:

Interval \$J\$ může být omezený či neomezený, uzavřený, polouzavřený či otevřený.

Podle této definice je funkce \$s\$ z předchozího obrázku rostoucí v intervalu \$(-3;-1)\$ a klesající v intervalu \$(1;5)\$.

Je funkce s(x) z předchozího obrázku funkce prostá? Ano, protože pro jakékoliv \$x_1 \ne x_2; x_1,x_2 \in D_s\$ nalézáme jenom různé funkční hodnoty \$s(x_1) \ne s(x_2)\$. To odpovídá definici. Nemůžeme nalézt žádné stejné funkční hodnoty \$s(x_1)=s(x_2)\$.

Je funkce r(x) na následujícím obrázku funkce prostá?

Není. Například pro \$x_1=-1.5\$ a \$x_2=4.5\$, které jsou navzájem různé, máme stejné funkční hodnoty \$f(x_1)=f(x_2)=1.5\$ a to odporuje definici prosté funkce.

Jsou následující funkce \$f(x)=sin(x); x \in R\$, \$g(x)=sin(x); x \in \langle 0, frac{\pi}{2} \rangle \$ a \$h(x)=sin(x); x \in \langle -frac{\pi}{2}, frac{\pi}{2} \rangle \$ prosté funkce?

Funkce \$f(x)=sin(x); x \in R\$ není prostá, protože například pro hodnoty \$x_1=0\$ a \$x_2=3*\pi\$, které jsou různé \$x_1 \ne x_2\$, jsou funkční hodnoty stejné \$f(x_1)=f(x_2)=0\$, což odporuje definici prosté funkce. Obecně řečeno, takových hodnot můžeme nalézt u této funkce mraky (matematicky nekonečné množství), protože z grafu vidíme, že funkce má periodu o velikosti \$2*\pi\$.

Funkce \$g(x)=sin(x); x \in \langle 0, 2*\pi \rangle\$ také není prostá. Můžeme najít stejné funkční hodnoty pro různá x.

Funkce \$h(x)=sin(x); x \in \langle -frac{\pi}{2}, frac{\pi}{2} \rangle\$ prostá bude, protože se nám pro různé hodnoty x nepodaří najít stejné hodnoty h(x).

Použil jsem jako ukázku funci sinus, zatím nevíte jak se konstruuje a co znamená, což ale nevadí. O tom, zda je funkce rostoucí či klesající, rostoucí nebo klesající na intervalu a nebo zda je to funkce prostá, můžeme rozhodnout jak z definice funkce, tak i z grafu. A o to tady jde.

Rozhodněte, zda platí tato věta: Je-li funkce prostá, pak je rostoucí, nebo klesající. Svůj názor zdůvodněte.

Věta neplatí, protože jsme ukázali funkci s(x), která je prostá, ale není ani rostoucí ani klesající.

Zato platí tato věta:

Důkaz Provedeme ho například pro funkci rostoucí.
Předpokládejme, že funkce \$f\$ je rostoucí a \$x_1, x_2\$ jsou libovolné prvky z definičního oboru funkce \$D_f\$, pro něž je \$x_1 \ne x_2\$.
Pak je buď \$x_1 < x_2\$ nebo \$x_1 > x_2\$. Je-li \$x_1 < x_2\$, pak \$f(x_1) < f(x_2)\$ a tedy i \$f(x_1) \ne f(x_2)\$. Obdobně pro \$x_1 > x_2\$ je \$f(x_1) > f(x_2)\$ a proto je \$f(x_1) \ne f(x_2)\$.

Pro případ klesající funkce je důkaz analogický.