Příklad 5.1

Cisterna na naftu má objem 2000 litrů. Čerpadlo dodává do cisterny 50 litrů nafty za minutu. Před uvedením čerpadla do chodu byla cisterna prázdná.

  1. Kolik litrů nafty bude v cisterně na konci páté, dvanácté, dvacáté minuty? (Čas se počítá od začátku plnění cisterny.)

  2. Za kolik minut bude cisterna zcela plná?

  3. Určete funkci, která vyjadřuje závislost objemu \$V\$ nafty (v literech) v cisterně v závislosti na čase \$t\$ (v minutách). Čas uvažujte od okamžiku, kdy se cisterna začne plnit, do okamžiku, kdy je zcela naplněna.

  4. Sestrojte graf této funkce.

řešení

  1. uděláme si tabulku

    čas \$t \[min]\$

    objem nafty \$V \[litry]\$

    5

    \$5*50=250\$

    12

    \$12*50=600\$

    20

    \$20*50=1000\$

  2. Cisterna bude naplněna za 40 minut.

  3. Pro každé \$t in \langle 0, 40\rangle\$ je \$V=50*t\$. Požadovaná funkce - označme ji \$f_1\$ - je dána takto:

    \$f_1: \quad V=50*t, \quad t \in \langle 0, 40\rangle \$

    (\$t\$ a \$V\$ chápeme nyní jako číselné hodnoty příslušných fyzikálních veličin.)

  4. Grafem funkce \$f_1\$ je úsečka, jejíž koncovými body jsou \$\[0, 0]\$ a \$\[40, 2000]\$

    Obrázek 5.1: Graf funkce \$f_1: \quad V=50*t, \quad t \in \langle 0, 40\rangle \$

    funkce p5.1

Příklad 5.2

Budeme řešit úkoly z příkladu 5.1 pro tyto případy:

  1. Naftu čerpáme výkonnějším čerpadlem o výkonu 80 litrů nafty za minutu. Nádrž je na počátku plnění prázdná.

  2. Cisterna je plněna čerpadlem o výkonu 80 litrů nafty za minutu, přitom na počátku plnění je v cisterně již 200 litrů nafty.

řešení

  1. tabulka

    čas \$t \[min]\$

    objem nafty \$V \[litry]\$

    5

    \$5*80=400\$

    12

    \$12*80=960\$

    20

    \$20*80=1600\$

    25

    \$25*80=2000\$

    \$f_2: \quad V=80*t, \quad t \in \langle 0, 25\rangle\$

    Obrázek 5.2: Graf funkce \$f_2: V=80*t, t \in \langle 0, 25\rangle \$

    funkce p5.2

  2. tabulka

    čas \$t \[min]\$

    objem nafty \$V \[litry]\$

    5

    \$5*80+200=600\$

    12

    \$12*80+200=1160\$

    20

    \$20*80+200=1800\$

    25

    \$22.5*80+200=2000\$

  3. \$f_3: \quad V=80*t+200, \quad t \in \langle 0, 22.5\rangle\$

    Obrázek 5.3: Graf funkce \$f_3: V=80*t+200, t \in \langle 0, 22.5\rangle \$

    funkce p5.3

Příklad 5.3

Na obrázku 5.4 je graf funkce \$g\$, která opět udává závislost objemu \$V\$ nafty v literch v cisterně na čase \$t\$ v minutách po celou dobu jejího plnění. Které informace lze z grafu získat?

Obrazek 5.4 graf funkce plnění cisterny

funkce p5.4

Na počátku plnění bylo v cisterně 200 litrů nafty. Výkonnějším čerpadlem 80 litrů za minutu bylo čerpáno do konce 15 minuty, celkově bylo v cisterně 1400 litrů nafty. Poté bylo čerpání na 8 minut přerušeno (porucha čerpadla) a od konce 23. minuty bylo nasazeno méně výkonné čerpadlo 50 litrů za minutu. Plnění bylo dokončeno na konci 35. minuty (zbývajících 600 litrů nafty bylo přečerpáno za 12 minut)

Graf funkce \$g\$ na obrázku 5.4 se skládá z grafů tří funkcí \$g_1, g_2, g_3\$ jejich definiční obory jsou postupně \$D_{g_1}=\langle 0, 15\rangle\$, \$D_{g_2}=\langle 15, 23\rangle\$ a \$D_{g_3}=\langle 23, 25\rangle\$.

Pokuste se vyjádřit funkce \$g_1\$ a \$g_2\$. Funkci \$g_3\$ necháme na později.

\$g_1: \quad V=80*t+200, \quad t \in \langle 0, 15\rangle \$

\$g_2: \quad V=0*t+1400, \quad t \in \langle 15, 23\rangle \$, stručněji \$g_2: \quad V=1400 \quad t \in \langle 15, 23 \rangle\$

Funkce \$g_1\$, \$g_2\$ jsou příklady částí lineárních funkcí.

Definice lineární funkce

Definice: Lineární funkce je každá funkce na množině reálných čísel \$R\$ (tj. funkce o definičním oboru \$D_f=R\$), která je dána ve tvaru
\$y=a*x+b\$
kde \$a,b\$ jsou reálná čísla.

Speciálním případem lineárních funkcí jsou funkce, pro něž je \$a=0\$, tj. funkce
\$y=b\$
které nazýváme konstantní funkce.

Pro lineární funkce, vyjádřené ve tvaru:
\$y=a*x\$
užíváme název přímá úměrnost. Jsou to funkce dané vzorcem \$y=a*x+b\$ v němž je \$b=0\$.

Grafem každé lineární funkce je v soustavě souřednic \$Oxy\$ je přímka různoběžná s osou \$y\$.

Konstantní funkce má v grafu přímku rovnoběžnou s osou \$x\$.

Funkce přímá úměrnost má graf, kde přímka prochází počátkem souřadnic, t.j. bodem \$O\[0,0]\$.

Platí i obráceně: Každá přímka různoběžná s osou \$y\$ je grafem některé lineární funkce.

K sestrojení grafu lineární funkce stačí znát dva různé body, k sestrojení grafu konstantní funkce stačí znát bod jediný.

Příklad 5.3

Načrtněte grafy funkcí
\$f: \quad y= -2\$
\$g: \quad y=2*x-1\$

Příklad 5.4

Zjistěte závislost objemu nafty \$V\$ na čase \$t\$, kterou vyjadřuje graf funkce \$g_3\$ na obrázku 5.4.

řešení

Funkce \$g_3\$ bude dána ve tvaru
\$V=a*t+b, \quad t \in \langle 23, 35\rangle\$,
kde \$a, b\$ jsou zatím neznámé konstanty. Naším úkolem je tyto konstanty určit.

Z obrázku 5.4 je vidět, že do grafu funce \$g_3\$ patří například body [23, 1400] a [35, 2000]. Dosadíme do vztahu \$V=a*t+b\$ za \$t\$ číslo 23 a za \$V\$ číslo 1400, potom za \$t\$ číslo 35 a za \$V\$ číslo 2000. Dospějeme k soustavě dvou lineárních rovnic s neznámými \$a,b\$:

\$1400 = a*23+b\$
\$2000 = a*35+b\$

Získanou soustavu rovnic vyřešíme:
\$600 = 12*a \quad \$ // odečetli jsme od druhé rovnice první rovnici
\$a=50 \quad \$ // dosadíme vypočtenou hodnotu \$a\$ do první rovnice
\$1400=50*23+b\$
\$b=250 \quad \$ // máme hotovo

Funkce \$g_3\$ je dána takto:
\$g_3: \quad V=50*t+250, \quad t \in \langle 23, 35\rangle\$

Domácí úkol č. 13

13.1. Nakreslete grafy těchto funkcí:

  1. \$\quad y=1.5\$

  2. \$\quad y=3*x\$

  3. \$\quad y=x+2\$

  4. \$\quad y=-2*x+1.7\$

13.2. Zdůvodněte, že přímka rovnoběžná s osou \$y\$ soustavy souřadnic \$Oxy\$, nemůže být grafem žádné funkce, která vyjadřuje závislost \$y\$ na \$x\$.

Kdo chce kreslit grafy v GeoGebře místo pravítkem na papír, tak může. Geogebra Klasik je ke stažení odtud: https://wiki.geogebra.org/en/Reference:GeoGebra_Installation#GeoGebra_Classic_6. Grafy můžete poslat mailem na jirka@lixis.cz , školní mail mi ze záhadných důvodů přestal chodit (nepřihlásím se ThunderBirdem, ačkoliv mi to bez problémů chodilo), nicméně pokud to pošlete na chraska.jiri@sspvc.cz, tak se mi mail přepošle. Prostě Mikrošrot. Udělejte si graf v GeoGebře, uložte si soubor se jménem <domaci_ukol_13_Jmeno_Prijmeni.ggb> na disk a pošlete mi ho jako přílohu poštovní zprávy. Do předmětu zprávy napište: "Matematika: domácí úkol č. 13".

Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv.