Partie o exponenciálních funkcích, logaritnických funkcích a logaritmech směřovala v tradiční středoškolské matematice především k numerickým výpočtům pomocí logaritmických tabulek a logaritmického pravítka. Tyto mechanické výpočetní pomůcky se staly v době počítačů historií. Ale exponenciální a a logaritmické funkce tím nic ze svého významu ani pro středoškoláky neztratily — jejich užití ve fysice, chemii, biologii, medicíně, počítačové vědě apod. je velmi mnohostranné.

7.1 Exponenciální funkce

\(\boxed{1}\) Závislost hmotnosti \(m\) radioaktivní látky na čase \(t\) při její radioaktivní přeměně je dána vzorcem

\[\tag{1} m=m_0 \cdot (0.5)^{\frac{t}{T}},\]

kde \(m_0\) značí počáteční hmotnost látky v čase 0 sekund a \(T\) je tzv. poločas přeměny (rozpadu) (doba, za kterou se \(m_0\) zmenší na jednu polovinu).

Poločas přeměny radia A je přibližně 183 sekund. Vypočítejte kalkulačkou jeho hmotnost (s přesností na setiny gramu) v časech t=10; 50; 100; 150; 183; 200; 250; 300; 350; 400; 450; 500 (měřeno v sekundách), je-li počáteční hmotnost \(m_0=1\ g\).

čas \(t\) [s]

10

50

100

150

183

200

250

300

350

400

450

500

hmotnost \(m\) [g]

0.96

0.83

0.68

0.57

0.5

0.47

0.39

0.32

0.27

0.22

0.18

0.15
Na kalkulačce se to počítá takto:

exponenciala na kalkulacce

\(\boxed{2}\) Zakreslete získané uspořádané dvojice do vhodné pravoúhlé soustavy souřadnic.

Hodnoty vynesené do soustavy souřadnic

polocas rozpadu

Proces radioaktivní přeměny rádia A je spojitý v čase. Průběh závislosti hmotnosti na čase je zobrazen na obrázku (pro \(t=t_0=0\ s\) je \(m=m_0=1\ g\), pro \(t=1000\ s\) je \(m=0.023\ g\) apod.)

Graf funkce úbytku hmotnosti rádia A v závislosti na čase \(m=1\cdot (0.5)^{\frac{t}{183}}\)

polocas rozpadu2

S rostoucím časem se hmotnost radioaktivní látky neustále zmenšuje, její hodnoty se stále více přibližují k číslu 0 (ale nikdy nuly nedosáhnou).

Vyjádříme nyní pomocí vzorce (1) závislost číselných hodnoty \(y\) hmotnosti rádia A na číselných hodnotách \(x\) času:

\[y=1\cdot (0.5)^{\frac{x}{183}}\]

čili

\[y=(\sqrt[183]{0.5})^x\]

Zajímají nás \(x \in \langle 0, \infty)\), jde o funkci

\[y=(\sqrt[183]{0.5})^x, x\in \langle 0,\infty)\]

Označíme-li výraz \(\sqrt[183]{0.5}\) pro stručnost např. písmenem \(c\), dospějeme k funkci ve tvaru

\[\mathbf{y=c^x}, x\in \langle 0,\infty)\]

Tato funkce je částí tzv. exponenciálních funkcí (o základu \(c\)).

V předchozí kapitole jsme se věnovali mocniným funkcím, tj. funkcím typu \(\mathbf{y=x^a}\), kde \(x\) byla proměnná, \(a\) pevně zvolené číslo.

Nyní se podíváme na průběh mocniny poněkud jinak: Předpokládejme, že \(a\) je kladné reálné číslo. Víme už, že pro každé reální číslo \(x\) je definována x-tá mocnina čísla \(a\). Jinak řečeno, každému \(x\in R\) je přiřazeno právě jedno reálné číslo \(a^x\).

Soustředíme se na studium funkcí \(y=a^x\); budeme předpokládat, že je \(a>0\). Je-li \(a=1\), pak pro každé \(x\in R\) je \(1^x=1\), a jde tedy o známý případ konstatní funkce. V dalších případech se omezíme jenom na kladná čísla \(a\), která jsou různá od čísla 1.

Definice 1. Exponenciální funkce

Exponenciální funkce o základu \(a\) je funkce na množině R vyjádřená ve tvaru

\(\mathbf{y=a^x}\),

kde \(a\) je kladné číslo různé od 1 (\(a>0 \cap a\ne 1\)).

\(\boxed{3}\) Vypočítejte s přeností na tisíciny hodnoty exponenciální funkce

\[y=2^x\]

v bodech -3; -2; -1.5; -1; -0.5; 0; 0.5; 1 1.5; 2; 3. Zakreslete pak získané uspořádané dvojice do soustavy souřadnic \(0xy\).

\(x\)

-3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3

\(2^x\)

0.125

0.25

0.354

0.5

0.707

1

1.414

2

2.828

4

8

Zakreslení uspořádaných dvojic exponencialni funkce p3.1

Graf funkce \(y=2^x\) exponencialni funkce p3.2

\(\boxed{4}\) Nakreslete graf funkce \(y=2^x\) a v téže soustavě souřadnic pak nakreslete graf funkce \(y=(\frac{1}{2})^x\). Můžete využít toho, že pro každé \(x\in R\) platí \((\frac{1}{2})^x=2^{-x}\)

Grafy funkcí \(y=2^x\) a \(y=(\frac{1}{2})^x\)

exponencialni funkce p4.1

Grafy funkcí jsou souměrně sdružení podle osy \(y\)

Bez důkazů uvedeme vlastnosti exponenciální funkce \(y=a^x\), a to jednak pro \(a>0\) a potom pro \(0<a<1\)

\[\boxed{Funkce\ y=a^x;\ a\in R^+ - \{1\}}\]

\(a>1\)

\(0<a<1\)

exponencialni funkce p5.1

exponencialni funkce p5.2

Definiční obor \(D_f: x\in R\)

Definiční obor \(D_f: x\in R\)

Obor hodnot \(H_f: x\in(0,\infty)\)

Obor hodnot \(H_f: x\in(0,\infty)\)

Funkce je rostoucí a tedy prostá.

Funkce je klesající a tedy prostá.

Je zdola omezená, není shora omezená.

Je zdola omezená, není shora omezená.

Nemá v žádném bodě ani minimum ani maximum.

Nemá v žádném bodě ani minimum ani maximum.

Funkční hodnota v bodě 0 je 1.

Funkční hodnota v bodě 0 je 1.

Příklady k počítání

Příklad 7.1

Dokažte, že číslo \((\frac{7}{3})^{-0.5}\) je menší než jedna. Využijte vlastnosti exponenciální funkce \(y=(\frac{7}{3})^x\) [1].

Řešení

Funkce \(y=(\frac{7}{3})^x\) je rostoucí.
To znamení, že pro všechna \(x_1,x_2 \in R\) platí: Je-li \(x_1<x_2\), pak \((\frac{7}{3})^{x_1}<(\frac{7}{3})^{x_2}\).
Víme, že v bodě \(x=0\) je hodnota této funkce rovna jedné. Číslo \(-0.5<0\), a tedy \((\frac{7}{3})^{-0.5}<(\frac{7}{3})^{0}\), čili \((\frac{7}{3})^{-0.5}<1\).
A to jsme měli dokázat.\(\square\)

Domácí úkol

Úloha 1.

Závislost tlaku \(p\) vzduchu na nadmořské výšce \(h [km]\) lze vyjádřit přibližně vztahem \(p=p_0\cdot 0.88^h\), kde \(p_0\) je tlak na úrovni moře \(p_0\doteq 1013\cdot 10^5 Pa\).

  1. Vypočtěte tlak vzduchu v nadmořské výšce 1019 m (vrch Šerlich Orlické hory) a pro naší školu, která má nadmořskou výšku přibližně 287 m.

  2. Vypočítejte, jaký je tlak vzduchu na vrcholech těchto hor: Sněžka (Krkonoše 1603 m), Gerlachovský štít (Vysoké Tatry 2654 m), Mont Blanc (Alpy 4807 m), Mont Everest (Himaláje 8848).

Řešení

Funkce popisující závislost tlaku vzduchu na nadmořské výšce je \(p=1.013\cdot 10^5 \cdot 0.88^h [Pa]\). Pro lepší počítání si přepočteme tlak na hektoPaskaly \(1\ hPa=100\ Pa\), potom naše funkce bude vypadat takto \(p=1013\cdot 0.88^h [hPa]\). Vypočítáme funkční hodnoty pro jednotlivé nadmořské výšky (nezapomeneme převést metry na kilometry) a jsme hotovi.

místo nadmořská výška [m] nadmořská výška [km] tlak [hPa]

Dobruška

287

0.287

\(p=1013\cdot 0.88^{0.287}=976\)

Šerlich, Orlické hory

1019

1.019

\(p=1013\cdot 0.88^{1.019}=889\)

Sněžka, Krokonoše

1603

1.603

\(p=1013\cdot 0.88^{1.603}=825\)

Gerlachovský štít, Vysoké Tatry

2654

2.657

\(p=1013\cdot 0.88^{2.654}=722\)

Mont Blanc, Alpy

4807

4.807

\(p=1013\cdot 0.88^{4.807}=547\)

Mont Everest, Himaláje

8848

8.848

\(p=1013\cdot 0.88^{8.848}=326\)
Graf naší funkce pro námi použité hodnoty

tlak vzduchu na nadmorske vysce

Úloha 2.

Na základě vlastností exponenciální funkce určete, které z následujících mocnin jsou větší než jedna, rovny jedné, menší než jedna:

  1. \((\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}}\) — řešení: \((\frac{2}{5})^x\) je klesající exponenciální funkce, protože \(a=\frac{2}{5}; 0<a<1\); funční hodnota v bodě \(f(0)=1\); exponent \(x=\frac{3}{4} > 0 \implies (\frac{2}{5})^{\frac{3}{4}} < 1 \)

  2. \((\frac{5}{4})^{\frac{3}{7}}\) — řešení: rostoucí funkce; funční hodnota v bodě \(f(0)=1\); \(x=\frac{3}{7} > 0 \implies (\frac{5}{4})^{\frac{3}{7}} > 1 \)

  3. \(2.18^{0.1}\) — řešení: rostoucí funkce; funční hodnota v bodě \(f(0)=1\), \(x=0.1 > 0 \implies 2.18^{0.1} > 1 \)

7.2 Exponenciální rovnice

\(\boxed{1}\) S použitím grafu funkce \(y=2^x\) řešte rovnici

\[\tag{1} 2^x=8\]

Vyřešme pro srovnání rovnici (1) ještě početně. Číslo 8 můžeme vyjádřit ve tvaru mocniny o základu 2:

\[8=2^3\]

Rovnici (1) lze tedy zapsat ve tvaru

\[2^x=2^3\]

Funkce \(y=2^x\) je prostá, a proto platí: Je-li \(x\ne 3\), pak je \(2^x\ne 2^3\); je-li tedy \(2^x=2^3\), pak \(x=3\).

Úvahy z předchozího odstavce lze zobecnit: Víme, že pro každé kladné číslo \(a\), které je různé od jedné, je funkce \(y=a^x\) prostá. Pro všechna reálná \(x_1, x_2\) tedy platí: je-li \(x_1\ne x_2\), pak \(a^{x_1}\ne a^{x_2}\), čili

je-li \(a^{x_1} = a^{x_2}\), pak \(x_1 = x_2\).

Vzhledem k tomu, že také platí:

je-li \(x_1 = x_2\), pak \(a^{x_1} = a^{x_2}\)

(ke každému \(x\in R\) je přiřazena jediná mocnina \(a^x\)). můžeme sformulovat následující závěr:

\[\mathbf{a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1=x_2}\]

Ten hraje důležitou roli při řešení rovnic, v nichž se vyskytují mocniny s neznámou v mocniteli (exponentu); jde o tzv. exponenciální rovnice.
(Značka \(\iff\) se čte "právě tehdy, když" anebo "je ekvivalentní")

Příklad 7.2.1

Řešte rovnici

\[\frac{1}{5^{2x-4}} = 125\]

s neznámou \(x\in R\).

Řešení

Obě strany rovnice upravíme tak, aby byly vyjádřeny ve tvaru mocnin o stejném základu.

\[\begin{aligned} 5^{-(2x-4)} &= 125 \\ 5^{-(2x-4)} &= 5^3 \end{aligned}\]

Odtud dostáváme

\[\begin{aligned} -(2x-4) &= 3\\ -2x &= -1\\ x &= 0.5 \end{aligned}\]

Příklad 7.2.2

Řešte rovnici

\[\tag{2} 4^x+2^x-6=0\]

s neznámou \(x\in R\).

Řešení

Platí \(4^x=(2^2)^x=(2^x)^2\). Rovnici (2) lze psát ve tvaru

\[\begin{aligned} (2^x)^2+2^x-6=0 \end{aligned}\]

Užijeme substituci (nahrazení)

\[\tag{3} 2^x=y\]

a řešíme kvadratickou rovnici

\[\tag{4} y^2+y-6=0\]

s neznámou \(y\in R\) (budeme řešit pomocí diskriminantu):

\[D=1-4\cdot(-6)=25 \\ y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{25}}{2}\]

Rovnice (4) má dva různé kořeny: \(a)\ y_1=2\) a \(b)\ y_2=-3\)

Dosadíme do rovnice (3) postupně čísla \(2\) a \(-3\) a budeme řešit získané exponenciální rovnice s neznámou \(x\in R\):

\(2^x=2\)

\(2^x=-3\)

\(x=1\)

Tato rovnice nemá žádný kořen, neboť pro každé \(x\in R\) je \(2^x>0\).

Provedeme zkoušku dosazením \(x=1\) do rovnice (2):

\[\begin{aligned} L(1) &= 4^{1} + 2^{1} - 6 = 0 \\ P(1) &= 0 \end{aligned}\Biggr\}\implies L(1)=P(1)\]

Rovnice (2) má jediný kořen: \(x=1\).

Příklady k počítání

Příklad 7.2.1

Řešte rovnici s neznámou \(x\in R\):

  1. \(2^x=4\)

  2. \(5^x=625\)

1. Můžete ovšem volit i jiný postup řešení tohoto úkolu: vypočítat číslo pomocí kalkulačky a porovnat s jedničkou