Test č.9, skupina A - řešení

1. Nakreslete graf funkce \$\mathbf{f: y=x^2-2x+3}\$. Zjistěte, v jakých intervalech je tato funkce rostoucí anebo klesající? Určete kde má funkce extrém (minimum nebo maximum). (3 body)

2. Zjistěte, která z daných funkcí je prostá, která je sudá či lichá. (4 body)

3. Vzdálenosti z Liberce do Prahy po silnici jsou: 107.6 km nebo 110.4 km nebo 118.3 km (záleží na tom, kudy se jede). Určete dobu jízdy po jednotlivých silnicích v závislosti na průměrné rychlosti. (3 body)

Z fyziky využijeme vztah mezi dráhou \$s\$ v kilometrech, průměrnou rychlostí \$v\$ v kilometrech za hodinu a časem t v hodinách u rovnoměrného pohybu \$s=v*t\$, tedy čas bude \$t=frac{s}{v}\$.
Známe vzdálenosti po jednotlivých silnicích ale nevíme jakou konkrétní průměrnou rychlostí se budeme pohybovat. Což nevadí a vyjádříme si to jako funkci.

Po silnici s délkou 107.6 km bude naše funkce závislosti času jízdy \$t\$ na průměrné rychlosti \$v\$ \$t_1(v)=frac{107.6}{v}\$.

Po silnici s délkou 110.4 km to bude \$t_2(v)=frac{110.4}{v}\$.

Po silnici s délkou 118.3 km to bude \$t_3(v)=frac{118.3}{v}\$.

Grafické znázornění závislosti času na rychlosti v GeoGebře

4. Chceme vyměnit obdélníkovou stvební parcelu (pozemek) o délce 35 metrů a ploše 735 metrů čtverečních za jiný obdélníkový pozemek o délce 40 metrů. Určete šířku nového pozemku, tak aby jeho plocha byla stejná. (1 bod)

\$S=a*b\$ → \$b=frac{S}{a}\$. Šířka nového pozemku bude \$b=frac{735}{40}=18.375 m^2\$

5. Určete definiční obor funkce \$g: y=frac{15}{x^2-4}\$. (2 body)

V předpisu funkce máme zlomek a víme, že nesmíme dělit nulou. Vyloučíme tedy taková \$x\$, pro které výraz \$x^2-4=0\$, což je kvadratická rovnice s kořeny \$x_1=-2\$ a \$x_2=2\$.

Definiční obor naší funkce bude \$D_f=R - {-2, 2}\$ (Všechna reálná čísla kromě čísel -2 a 2).