Test č.8, skupina B - řešení

1. Pro lineární funkci \$\mathbf{y=ax+b}\$ platí: \$\mathbf{b=2}\$, funkční hodnota v bodě x=3 je rovna číslu 6. Je tato funkce rostoucí a nebo klesající? Vypočítejte parametr \$\mathbf{a}\$. (2 body)
Řešení:
\$6=a*3+2\$ → \$a=frac{4}{3}\$
Funkční předpis je \$y=frac{4}{3}x+2\$, parametr \$a>0\$, jde tedy o funkci rostoucí.

2. Zjistěte, které z daných funkcí jsou sudé a které jsou liché. (4 body)

3. Ve kterých bodech má funkce \$y=-abs{x+1}-2\$ maximum nebo minimum. (1bod) Řešení: Maximum má v bodě x=-1, hodnota maxima (funkční hodnota) \$f_{max}=-2\$.

4. Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany \$a\$ m a výšce 4 m. Určete funkci závislosti povrchu kvádru S na délce \$a\$. (4 body)
Řešení: Obecný vzorec pro povrch kvádru o délkách stran \$a,b,c\$ je \$S=2*(a*b+a*c+b*c)\$. V našem případě je \$a=b\$ a \$c=4\$.
Funkční závislost plochy kvádru \$S\$ na straně \$a\$ je \$\mathbf{S}=2*(a^2+4a+4a)=\mathbf{2a^2+16a}\$. Definiční obor této funkce je \$D \in (0,\infty)\$, protože záporné stem[a] nemá smysl. Graf funkce je část paraboly.

5. Znáte dva body grafu lineární funkce A[1; 4] a B[4; 8]. Zapište funkční předpis této funkce a určete úhel, který svírá graf této funkce s kladnou poloosou \$x\$. (2 body)
Řešení: Víme, že parametr \$a=frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\$, dosadíme do tohoto vzorce.
\$a=frac{8-4}{4-1}=frac{4}{3}\$
Naše funkce bude vypadat nějak takto: \$y=frac{4}{3}x+b\$, dosadíme jeden z bodů a dostaneme parametr \$b\$.
\$8=frac{4}{3}*4+b\$ → \$b=8-frac{16}{3}=frac{24-16}{3}=frac{8}{3}\$

Funkce bude mít předpis \$f: y=frac{4}{3}x+frac{8}{3}\$

Úhel lineární funkce, který svírá s kladnou poloosou \$x\$ (směrnice), závisí na parametru \$a\$. \$a=tg(\alpha)\$. Změříme úhel z grafu Geogebrou a nebo spočítáme kalkulačkou arkus tangens. \$\alpha=atg(frac{4}{3})\approx 53.13°\$