Matematika - test č.6 skupina B, řešení

1. Vypočtěte hodnoty funkce \$y=2x^2-4x, x \in R\$ v bodech \$-8; 0.8; sqrt{9}; 13\$ (1 bod).

2. Je dána funkce \$h: y=frac{5-x}{x+3}, x \in \langle -2, 5 \rangle\$. Vypočtěte funkční hodnoty \$h(-2); h(0.7); h(3); h(6.2)\$ a \$h(-3)\$ (2 body).

3. Nakreslete graf funkce \$y=-3*x+1\$ v rozsahu \$x \in \langle -2, 3\rangle\$ (1 bod).

4. Máme funkci \$k\$, která je daná předpisem \$y=frac{1}{x^2-4x}\$, jejímž definičním oborem je množina všech takových \$x \in R\$ pro které má výraz \$frac{1}{x^2-4x}\$ smysl.
a) Zapište definiční obor funkce \$k\$ pomocí sjednocení intervalů (2 body).
Výraz \$frac{1}{x^2-4x}\$ nemá smysl, pokud je jmenovatel nulový.
Je potřeba vyřešit rovnici \$x^2-4*x=0\$.
Kořeny této rovnice jsou \$x_1=0\$ a \$x_2=4\$.
Funkce \$k\$ bude mít definiční obor všechna reálná čísla kromě čísel \$0\$ a \$4\$, tedy \$D_k = (-\infty,0) \cup (0,4) \cup (4, \infty)\$

b) Rozhodněte, zda číslo 2 patří do oboru hodnot funkce \$k\$ (2 body).
Abychom to rozhodli, musíme řešit rovnici: \$2=frac{1}{x^2-4x}\$.
Kořeny této rovnice jsou \$x_1=2+frac{3*sqrt{2}}{2}\$ a \$x_2=2-frac{3*sqrt{2}}{2}\$, což znamená, že funkce \$k\$ bude nabývat funkční hodnoty 2.

Graf naší funkce \$k: y=frac{1}{x^2-4x}, x \in (-\infty,0) \cup (0,4) \cup (4, \infty)\$, kde je vidět, že to máme dobře.

5. Plníme zahradní bazén ze studny, bazén je na počátku prázdný. Bazén je kvádr o rozměrech hloubka 1.7 m, šířka 3.5 m, délka 8 metrů. Čerpadlo umí načerpat 80 litrů vody za minutu. Po dvou hodinách čerpání nám soused zapůjčil další čepadlo o výkonu 120 litrů za minutu. Vypočtěte, kdy bude bazén plný (bazén nebudeme plnit až po vrch, ale necháme hladinu 10 cm pod horním okrajem a předpokládáme, že nám studna během plnění bazénu nevyschne) (4 body).

Nejprve spočítáme objem bazénu v litrech. Objem kvádru je \$V=h*š*d=1.6*3.5*8=44.8 m^3 = 44800 l\$ (odečetli jsme 10 cm hloubky).
První čerpadlo čerpá 80l/min, každou minutu načerpá stejně, což ukazuje na lineární funkci počtu načerpaných litrů v závislosti na čase \$l_1(t)=80*t\$. Hodina má 60 minut, 2 hodiny 120 minut, definiční obor naší funkce bude \$D_{l_1}=(0, 120)\$ minut.
Za dvě hodiny nám první čerpadlo načerpá \$V_1=80*120=9600 l\$ vody.
Po dvou hodinách budeme čerpat dvěma čerpadly rychlostí 200 litrů za minutu a už máme načepráno 9600 litrů, takže bude funkce bude vypadat nějak takto \$l_2(t)=200*t+b\$. Parametr b určíme takto: funkční hodnota naší funkce ve 120 minutě se musí rovnat 9600 (už je načerpáno) \$l_2(120)=9600\$.
Rovnice pro určení parametru b bude vypadat takto: \$9600=200*120+b\$, čili \$b=9600-200*120=9600-24000=-14400\$.
Zbývá nám načerpat objem \$V_2=V-V_1=44800-9600=35200\$, a z toho určíme konec čerpání \$44800=200*t-14400\$.
Z toho vypočítáme zbylou dobu čerpání \$t_2=frac{44800-9600}{200}=frac{35200}{200} = 176\$ minut, tj. 2 hodiny a 56 minut.
Celkem budeme čerpat \$t=120+176=296\$ minut tj. 4 hodiny a 56 minut.
Definiční obor naší druhé funkce bude \$D_{l_2}=(120, 296)\$.

Bonus: Můžete nakreslit graf funkce čerpání vody v litrech na čase (další 2 body).

Místo písmenka t je v GeoGebře použito písmenko x.