Hodnocení testu
| počet bodů | známka |
|---|---|
10-14 |
výborně |
8-9 |
chvalitebně |
6-7 |
dobře |
4-5 |
dostatečně |
0-3 |
nedostatečně |
Řešení
1. Vypočtěte hodnoty funkce \$y=2x^2-6x, x \in R\$ v bodech \$-16; 0.6; sqrt{7}; 12\$ (1 bod).
| x | -16 | 0.6 | \$sqrt{7}\$ | 12 |
|---|---|---|---|---|
y |
\$2*(-16)^2-6*(-16)=2*256+96=608\$ |
-2.88 |
-1.87 |
216 |
2. Je dána funkce \$h: y=frac{5-x}{x+2}, x \in \langle -1,5 \rangle\$. Vypočtěte funkční hodnoty \$h(-1); h(0.6); h(2); h(4.2)\$ a \$h(-2)\$ (2 body).
| x | -1 | 0.6 | 2 | 4.2 | -2 (mimo definiční obor) |
|---|---|---|---|---|---|
h(x) nebo y |
\$frac{5+1}{-1+2}=frac{6}{1}=6\$ |
\$frac{5-0.6}{0.6+2}=frac{4.4}{2.6}=1.69\$ |
0.75 |
0.129 |
nelze spočítat (dělení 0) |
3. Nakreslete graf funkce \$y=5*x+2\$ v rozsahu \$x \in \langle -1, 5\rangle\$ (1 bod).
4. Máme funkci \$k\$, která je daná předpisem \$y=frac{1}{x^2-3x+2}\$, jejímž definičním oborem je množina všech takových \$x \in R\$ pro které má výraz \$frac{1}{x^2-3x+2}\$ smysl.
a) Zapište definiční obor funkce \$k\$ pomocí sjednocení intervalů (2 body).
Výraz \$frac{1}{x^2-3x+2}\$ nemá smysl, pokud je jmenovatel nulový.
Je potřeba vyřešit rovnici \$x^2-3x+2=0\$.
Kořeny této rovnice jsou \$x_1=1\$ a \$x_2=2\$.
Funkce \$k\$ bude mít definiční obor všechna reálná čísla kromě čísel \$1\$ a \$2\$, tedy \$D_k = (-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2, \infty)\$
b) Rozhodněte, zda číslo 5 patří do oboru hodnot funkce \$k\$ (2 body).
Abychom to rozhodli, musíme řešit rovnici: \$5=frac{1}{x^2-3x+2}\$.
Kořeny této rovnice jsou \$x_1=frac{15+3*sqrt{5}}{10}\$ a \$x_2=frac{15-3*sqrt{5}}{10}\$, což znamená, že funkce \$k\$ bude nabývat funkční hodnoty 5.
Graf naší funkce \$k: y=frac{1}{x^2-3x+2}, x \in (-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2, \infty)\$, kde je vidět, že to máme dobře.
5. Plníme zahradní bazén ze studny, bazén je na začátku prázdný. Bazén je kvádr o rozměrech hloubka 2.1 m, šířka 3 m, délka 7 metrů. Čerpadlo umí načerpat 50 litrů vody za minutu. Po dvou hodinách čerpání nám soused zapůjčil další čepadlo o témže výkonu. Vypočtěte, za jak dlouho bude bazén plný (bazén nebudeme plnit až po vrch, ale necháme hladinu 10 cm pod horním okrajem a předpokládáme, že nám studna během plnění bazénu nevyschne) (4 body).
Nejprve spočítáme objem bazénu v litrech. Objem kvádru je \$V=h*š*d=2.0*3*7=42 m^3 = 42000 l\$ (odečetli jsme 10 cm hloubky).
První čerpadlo čerpá 50l/min, každou minutu načerpá stejně, což ukazuje na lineární funkci počtu načerpaných litrů v závislosti na čase \$l_1(t)=50*t\$. Hodina má 60 minut, 2 hodiny 120 minut, definiční obor naší funkce bude \$D_{l_1}=(0, 120)\$ minut.
Za dvě hodiny nám první čerpadlo načerpá \$V_1=50*120=6000 l\$ vody.
Po dvou hodinách budeme čerpat dvakrát rychleji a už máme načepráno 6000 litrů, funkce popisující čerpání bude vypadat takto: \$l_2(t)=100*t+b\$.
Parametr \$b\$ spočítáme tak, že funkční hodnota ve 120 minutě musí být rovna 6000. \$l_2(120)=6000\$, \$6000=100*120+b\$ → \$b=6000-12000=-6000\$
Funkce popisující čerpání dvěma čerpadly bude tato: \$l_2(t)=100*t-6000\$.
Zbývá nám načerpat objem \$V_2=V-V_1=42000-6000=36000\$.
Z toho vypočítáme zbylou dobu čerpání \$t_2=frac{42000-6000}{100}=frac{36000}{100} = 360\$ minut, tj. 6 hodin.
Celkem budeme čerpat \$t=120+360=480\$ minut tj. 8 hodin.
Definiční obor naší druhé funkce bude \$D_{l_2}=(120, 480)\$.
Bonus: Můžete nakreslit graf funkce čerpání vody v litrech na čase (další 2 body).
Místo písmenka t je v GeoGebře použito písmenko x.