Hodnocení testu

počet bodů známka

10-14

výborně

8-9

chvalitebně

6-7

dobře

4-5

dostatečně

0-3

nedostatečně

Příklad 1.

Řešte rovnici \(\mathbf{x^2-5-x=0}\). Nezapomeňte na zkoušku. (2 body)

Řešení 1.

Kvadratická rovnice \(x^2-x-5=0\); \(a=1, b=-1, c=-5\)
Diskriminant \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=1+20=21 >0\), budou 2 kořeny.
Kořeny: \(x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\approx 2.79 \)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}\approx -1.79 \)

Zkouška:

\[\begin{aligned} L(x_1)&=(\frac{1+\sqrt{21}}{2})^2-5-\frac{1+\sqrt{21}}{2}=\frac{1+2\sqrt{21}+21}{4}-\frac{20}{4}-\frac{2+2\sqrt{21}}{4}=\frac{1+2\sqrt{21}+21-20-2-2\sqrt{21}}{4}=0\\ P(x_1)&=0\\ L(x_2)&=(\frac{1-\sqrt{21}}{2})^2-5-\frac{1-\sqrt{21}}{2}=\frac{1-2\sqrt{21}+21}{4}-\frac{20}{4}-\frac{2-2\sqrt{21}}{4}=\frac{1-2\sqrt{21}+21-20-2+2\sqrt{21}}{4}=0\\ P(x_2)&=0\\ \end{aligned}\]

Příklad 2.

Je dán kvádr se čtvercovou podstavou; délka jeho podstavné hrany je \(\mathbf{b}\), délka boční hrany je \(\mathbf{3\cdot b}\) (4 body)

  1. Nakreslete od ruky drátěný model kvádru a vyznačte jednotlivé délky.

  2. Napište předpis funkce udávající závislost součtu délek všech hran kvádru na délce \(b\) (\(b\) se bude měnit a hledáme předpis funkce kolik drátu bude potřeba na drátěný model)

  3. Určete definiční obor a obor hodnot funkce, kterou jste napsali.

  4. Nakreslete tělesovou úhlopříčku do modelu a určete funkční předpis závislosti velikosti této úhlopříčky na straně \(b\).

Řešení 2

test 11b reseni 2kvadr

Funkce délka drátu v závislosti na \(b\): \(D(b)=4\cdot b + 4\cdot b + 4\cdot (3\cdot b) = 20b\)

Definiční obor: \(b>0\), rozměr \(b\) musí být kladné číslo

Tělesová úhlopříčka \(t\) je spojnice bodů \(AG\). Velikost této úhlopříčky určíme pomocí Pythagorovy věty (pravoúhlý trojúhelník ACG), spojnici \(AC\) si označíme p a nejprve spočítáme její velikost (Pythagorova věta, pravoúhlý trojúhelník ABC).

Velikost \(p=\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2\cdot b^2}=\sqrt{2}\cdot b\)

Velikost \(t=\sqrt{p^2+(3b)^2}=\sqrt{(\sqrt{2}\cdot b)^2+9\cdot b^2}=\sqrt{2b^2+9b^2}=\sqrt{11b^2}=\sqrt{11}b\approx 3.32\cdot b \)

Funkce udávající závislost délky tělesové úhlopříčky \(t\) na hraně \(b\) je \(t=\sqrt{11}\cdot b\)

Příklad 3.

V továrně na hračky se vyrábějí ze smrkového dřeva o hustotě \(\rho = 440 \frac{kg}{m^3}\) kostičky ve tvaru krychle pro děti. (3 body)

  1. Zapište funkci, která vyjdřuje závislost hmotnosti kostičky na délce \(a\) její hrany a nakreslete její graf.

  2. Jaká je hmotnost kostičky při délce hrany \(a=2\ cm\)? (Nápověda: hmotnost = hustota * objem, \(\mathbf{m}\ [kg] = \mathbf{\rho}\ [\frac{kg}{m^3}] \mathbf{* V}\ [m^3]\))

  3. Kolikrát se zvětší hmotnost kostičky, zvětší-li se se délka její hrany jedenapůlkrát?

Řešení 3

  1. Objem \(V=a^3\), hmotnost \(m=\rho\cdot V=0.44\cdot a^3\) Funkce je: \(m=0.44a^3\) test 11b reseni 3

  2. Hmotnost kostičky o straně \(2\ cm\) je \(m=0.44\cdot 2^3=3.52\ g\) (Hustota \(\rho = 440 \frac{kg}{m^3}=0.44\ \frac{g}{cm^3}\) )

  3. 3.375 krát. Kolikrát se zvětší hmotnost krychle vůbec nezávisí na tom, jak je krychle velká ani jak je těžká.
    \(a_2=1.5 a_1\)
    \(m_1=\rho\cdot V_1\)
    \(m_2=\rho\cdot V_2\)
    \(\frac{m_2}{m_1}=\frac{\rho\cdot V_2}{\rho\cdot V_1}=\frac{a_2^3}{a_1^3}=\frac{(1.5\cdot a_1)^3}{a_1^3}=\frac{3.375\cdot a_1^3}{a_1^3}=3.375\)

Příklad 4.

Určete funkční předpis a nakreslete graf inverzní funkce k (2 body)

  1. funkci \(\mathbf{f: y=x^{-5}}\). Inverzní funkci označte písmenkem \(i\).

  2. funkci \(\mathbf{g: y=\vert\frac{x}{2}-6\vert}\). Inverzní funkci označte písmenkem \(j\).

Řešení 4

  1. Funkci \(y=x^{-5}\) můžeme psát jako \(y=\frac{1}{x^5}\), je to funkce prostá. Definiční obor je \(x\in R - {0}\)
    Výpočet inverzní funkce k funkci \(y=\frac{1}{x^5}\) :

\[\begin{aligned} \sqrt[5]{y}&=\sqrt[3]{\frac{1}{x^5}} \\ \sqrt[5]{y}&=\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x^5}} \\ \sqrt[5]{y}&=\frac{1}{x} \\ x\cdot\sqrt[5]{y}&=1 \\ x&=\frac{1}{\sqrt[5]{y}} \\ \end{aligned}\]

Zaměníme \(x\) za \(y\) a \(y\) za \(x\) a máme inverzní funkci:

\[\begin{aligned} y&=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\\ \end{aligned}\]

test 11b reseni 4a

  1. Inverzní funkce k funkci \(g: y=\vert\frac{x}{2}-6\vert\) neexistuje, funkce není prostá. test 11b reseni 4b

Příklad 5.

Zapište pomocí intervalů definiční obor funkce funkce \(\mathbf{k: y=\sqrt{\frac{x+4}{x-2}}}\) a nakreslete její graf. (2 body)

Řešení 5

Je evidentní, že \(x\ne2\) (výraz ve zlomku nesmí mít nulový jmenovatel). Dále je potřeba zajistit, aby výraz pod odmocninou \(\frac{x+4}{x-2}\ge 0\), protože druhá odmocnina je definována jenom pro nezáporná čísla.

Výraz \(\frac{x+4}{x-2}\ge 0 \iff (x+4\ge 0 \cap x-2>0) \cup (x+4\le 0 \cap x-2<0) \iff \)
\((x\ge -4 \cap x>2 \implies x>2 )\cup(x\le -4 \cap x<2\implies x\le -4) \).

Definiční obor funkce \(D_k: x\in(-\infty,-4\rangle \cup (2,\infty)\).

Graf \(k: y=\sqrt{\frac{x+4}{x-2}}\)

test 11b reseni 5