Hodnocení testu

počet bodů známka

10-14

výborně

8-9

chvalitebně

6-7

dobře

4-5

dostatečně

0-3

nedostatečně

1. Řešte rovnici \(\mathbf{5x-2-\frac{1}{x}=0}\). Nezapomeňte na zkoušku. (2 body)

Řešení 1.

\(x\ne 0\), vynásobíme celou rovnici \(x\)
\(5x^2-2x-1=0\), to je kvadratická rovnice
diskriminant \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 5\cdot (-1)=4+20=24\)
kořeny budou: \(x_1=\frac{2+\sqrt{24}}{2\cdot 5}=\frac{2+\sqrt{4\cdot{6}}}{10}=\frac{2+2\sqrt{6}}{10}=\frac{1+\sqrt{6}}{5}\approx 0.69\)
\(x_1=\frac{1-\sqrt{6}}{5}\approx -0.29\)

Zkouška:

\[\begin{aligned} L(x_1)&=5\cdot\frac{1+\sqrt{6}}{5}-2-\frac{5}{1+\sqrt{6}}=\frac{(1+\sqrt{6})^2-2\cdot(1+\sqrt{6})-5}{1+\sqrt{6}}=\frac{1+2\sqrt{6}+6-2-2\sqrt{6}-5}{1+\sqrt{6}}=0\\ P(x_1)&=0\\ L(x_2)&=5\cdot\frac{1-\sqrt{6}}{5}-2-\frac{5}{1-\sqrt{6}}=\frac{(1-\sqrt{6})^2-2\cdot(1-\sqrt{6})-5}{1-\sqrt{6}}=\frac{1-2\sqrt{6}+6-2+2\sqrt{6}-5}{1+\sqrt{6}}=0\\ P(x_2)&=0\\ \end{aligned}\]

2. Je dán kvádr se čtvercovou podstavou; délka jeho podstavné hrany je \(\mathbf{b}\), délka boční hrany je \(\mathbf{4\cdot b}\) (4 body)

  1. Nakreslete od ruky drátěný model kvádru a vyznačte jednotlivé délky.

  2. Napište předpis funkce udávající závislost součtu délek všech hran kvádru na délce \(b\) (\(b\) se bude měnit a hledáme předpis funkce kolik drátu bude potřeba na drátěný model)

  3. Určete definiční obor a obor hodnot funkce, kterou jste napsali.

  4. Nakreslete tělesovou úhlopříčku do modelu a určete funkční předpis závislosti velikosti této úhlopříčky na straně \(b\).

Řešení 2

test 11a reseni 2kvadr

Funkce délka drátu v závislosti na \(b\): \(D(b)=4\cdot b + 4\cdot b + 4\cdot (4\cdot b) = 24b\)

Definiční obor: \(b>0\), rozměr \(b\) musí být kladné číslo

Tělesová úhlopříčka \(t\) je spojnice bodů \(AG\). Velikost této úhlopříčky určíme pomocí Pythagorovy věty (pravoúhlý trojúhelník ACG), spojnici \(AC\) si označíme p a nejprve spočítáme její velikost (Pythagorova věta, pravoúhlý trojúhelník ABC).

Velikost \(p=\sqrt{b^2+b^2}=\sqrt{2\cdot b^2}=\sqrt{2}\cdot b\)

Velikost \(t=\sqrt{p^2+(4b)^2}=\sqrt{(\sqrt{2}\cdot b)^2+16\cdot b^2}=\sqrt{2b^2+16b^2}=\sqrt{18b^2}=\sqrt{18}b\approx 4.24\cdot b \)

Funkce udávající závislost délky tělesové úhlopříčky \(t\) na hraně \(b\) je \(t=\sqrt{18}\cdot b\)

3. V továrně na hračky se vyrábějí z modřínového dřeva o hustotě \(\rho = 460 \frac{kg}{m^3}\) kostičky ve tvaru krychle pro děti. (3 body)

  1. Zapište funkci, která vyjdřuje závislost hmotnosti kostičky na délce \(a\) její hrany a nakreslete její graf.

  2. Jaká je hmotnost kostičky při délce hrany \(a=3\ cm\)? (Nápověda: hmotnost = hustota * objem, \(\mathbf{m}\ [kg] = \mathbf{\rho}\ [\frac{kg}{m^3}] \mathbf{* V}\ [m^3]\))

  3. Kolikrát se zvětší hmotnost kostičky, ztrojnásobí-li se délka její hrany?

Řešení 3

  1. Objem \(V=a^3\), hmotnost \(m=\rho\cdot V=0.46\cdot a^3\) Funkce je: \(m=0.46a^3\) test 11a reseni 3

  2. Hmotnost kostičky o straně \(3\ cm\) je \(m=0.46\cdot 3^3=12.42\ g\) (Hustota \(\rho = 460 \frac{kg}{m^3}=0.46\ \frac{g}{cm^3}\) )

  3. Dvacetsedmkrát. Kolikrát se zvětší hmotnost krychle vůbec nezávisí na tom, jak je krychle velká ani jak je těžká.
    \(a_2=2 a_1\)
    \(m_1=\rho\cdot V_1\)
    \(m_2=\rho\cdot V_2\)
    \(\frac{m_2}{m_1}=\frac{\rho\cdot V_2}{\rho\cdot V_1}=\frac{a_2^3}{a_1^3}=\frac{(3a_1)^3}{a_1^3}=\frac{27\cdot a_1^3}{a_1^3}=27\)

4. Určete funkční předpis a nakreslete graf inverzní funkce k (2 body)

  1. funkci \(\mathbf{f: y=x^{-3}}\). Inverzní funkci označte písmenkem \(i\).

  2. funkci \(\mathbf{g: y=\vert\frac{x}{4}+8\vert}\). Inverzní funkci označte písmenkem \(j\).

Řešení 4

  1. Funkci \(y=x^{-3}\) můžeme psát jako \(y=\frac{1}{x^3}\), je to funkce prostá. Definiční obor je \(x\in R - {0}\)
    Výpočet inverzní funkce k funkci \(y=\frac{1}{x^3}\) :

\[\begin{aligned} \sqrt[3]{y}&=\sqrt[3]{\frac{1}{x^3}} \\ \sqrt[3]{y}&=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^3}} \\ \sqrt[3]{y}&=\frac{1}{x} \\ x\cdot\sqrt[3]{y}&=1 \\ x&=\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \\ \end{aligned}\]

Zaměníme \(x\) za \(y\) a \(y\) za \(x\) a máme inverzní funkci:

\[\begin{aligned} y&=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\\ \end{aligned}\]

test 11a reseni 4a

  1. Inverzní funkce k funkci \(g: y=\vert\frac{x}{4}+8\vert\) neexistuje, funkce není prostá. test 11a reseni 5b

5. Zapište pomocí intervalů definiční obor funkce funkce \(\mathbf{k: y=\sqrt{\frac{x-4}{x+2}}}\) a nakreslete její graf. (2 body)

Řešení 5

test 11a reseni 5

Definiční obor funkce \(D_k: x\in (-\infty, -2)\cup (4,\infty)\)