Hodnocení testu
| počet bodů | známka |
|---|---|
10-14 |
výborně |
8-9 |
chvalitebně |
6-7 |
dobře |
4-5 |
dostatečně |
0-3 |
nedostatečně |
1. Nakreslete graf funkce \$\mathbf{f: y=-x^2+2x-1}\$. Zjistěte, v jakých intervalech je tato funkce rostoucí anebo klesající? Určete kde má funkce extrém (minimum nebo maximum). (3 body)
Maximum je v bodě \$x=1\$, funkční hodnota v maximu je \$f(x_max): y=0\$ , v intervalu \$(-\infty,1)\$ je funkce rostoucí a v intervalu \$(1,\infty)\$ je klesající.
2. Je dána funkce \$\mathbf{g: y=\frac{2x-3}{x-1}}\$ (4 body)
-
Určete hodnoty této funkce v bodech \$x=-5\$ a \$x=2\$
Funkční hodnota v bodě \$x=-5\$ je \$y=\frac{2\cdot (-5)-3}{-5-1}=\frac{-13}{-6}\approx 2.167\$.
Funkční hodnota v bodě \$x=2\$ je \$y=\frac{2\cdot 2-3}{2-1}=\frac{1}{1}=1\$ -
Určete definiční obor funkce \$g\$
Definiční obor je \$D_g: x\in R-{1}\$ (Výraz ve zlomku nesmí být nulový). -
Určete všechna \$x\in D_g\$, pro která je funkční hodnota g(x)=5
\$5=\frac{2x-3}{x-1}\$ → \$5x-5=2x-3\$ → \$3x=2\$ → \$x=\frac{2}{3}\$
Funkční hodnota v bodě \$x=\frac{2}{3}\$ je rovna 5. -
Nakreslete graf funkce \$g\$
3. V továrně na hračky se vyrábějí ze smrkového dřeva o hustotě \$\rho = 440 frac{kg}{m^3}\$ kostičky ve tvaru krychle pro děti. (3 body)
-
Zapište funkci, která vyjdřuje závislost hmotnosti kostičky na délce \$a\$ její hrany a nakreslete její graf.
Objem \$V=a^3\$, hmotnost \$m=\rho\cdot V=0.44\cdot a^3\$ Funkce je: \$m=0.44a^3\$ -
Jaká je hmotnost kostičky při délce hrany \$a=2.5\ cm\$? (Nápověda: hmotnost = hustota * objem, \$\mathbf{m}\ [kg] = \mathbf{\rho}\ [\frac{kg}{m^3}] \mathbf{* V}\ [m^3]\$)
Hmotnost kostičky o straně \$2.5\ cm\$ je \$m=0.44\cdot 2.5^3=6.875\ g\$ (Hustota \$\rho = 440 frac{kg}{m^3}=0.440\ \frac{g}{cm^3}\$ ) -
Kolikrát se zvětší hmotnost kostičky, zdvojnásobí-li se délka její hrany?
Osmkrát. Kolikrát se zvětší hmotnost krychle vůbec nezávisí na tom, jak je krychle velká ani jak je těžká.
\$a_2=2 a_1\$
\$m_1=\rho\cdot V_1\$
\$m_2=\rho\cdot V_2\$
\$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\rho\cdot V_2}{\rho\cdot V_1}=\frac{a_2^3}{a_1^3}=\frac{(2a_1)^3}{a_1^3}=\frac{8\cdot a_1^3}{a_1^3}=8\$
4. Určete funkční předpis a nakreslete graf inverzní funkce k funkci \$\mathbf{h: y=\frac{x}{2}-1}\$. Invezní funkci označte písmenkem \$i\$. (2 body)
Budeme se k předpisu funkce chovat jako k rovnici a vyjádříme si x.
\$y=\frac{x}{2}-1\$ přičteme 1
\$y+1=\frac{x}{2}\$ vynásobíme 2
\$2y+2=x\$ prohodíme x s y a máme hotovo
\$y=2x+2\$
Z grafu je vidět, že jsme počítali dobře, protože inverzní a původní funkce jsou souměrně sdružené podle přímky \$y=x\$
5. Určete, zda patří tato funkce \$\mathbf{j: y=\frac{2x-4}{8x+2}}\$ mezi lineární lomené funkce a nakreslete její graf. (2 body)
Funkce patří mezi lineárně lomené funkce, jak je vidět z grafu, ale i proto, že \$c=8\ne 0, ad-bc\ne 0\$, \$2\cdot 2-(-4)\cdot 8=4+32=36\ne 0\$.
