Hodnocení testu
| počet bodů | známka |
|---|---|
10-14 |
výborně |
8-9 |
chvalitebně |
6-7 |
dobře |
4-5 |
dostatečně |
0-3 |
nedostatečně |
1. Nakreslete graf funkce \$\mathbf{f: y=x^2-2x+3}\$. Zjistěte, v jakých intervalech je tato funkce rostoucí anebo klesající? Určete kde má funkce extrém (minimum nebo maximum). (3 body)
Minimum je v bodě \$x=1\$, funkční hodnota v minimu je \$f(x_min): y=2\$ , v intervalu \$(-\infty,1)\$ je funkce klesající a v intervalu \$(1,\infty)\$ je rostoucí.
2. Je dána funkce \$\mathbf{g: y=\frac{2x+3}{x+1}}\$ (4 body)
-
Určete hodnoty této funkce v bodech \$x=1\$ a \$x=-3\$
Funkční hodnota v bodě \$x=1\$ je \$y=\frac{2\cdot 1+3}{1+1}=\frac{5}{2}=2.5\$.
Funkční hodnota v bodě \$x=-3\$ je \$y=\frac{2\cdot (-3)+3}{-3+1}=\frac{-3}{-2}=1.5\$ -
Určete definiční obor funkce \$g\$
Definiční obor je \$D_g: x\in R-{-1}\$ (Výraz ve zlomku nesmí být nulový). -
Určete všechna \$x\in D_g\$, pro která je funkční hodnota \$g(x)=3\$
Řešíme jednoduchou lineární rovnici.
\$3=\frac{2x+3}{x+1}\$ → \$3x+3=2x+3\$ → \$3x=2x\$ → \$3x-2x=0\$ → \$\mathbf{x=0}\$
Funkční hodnota v bodě \$x=0\$ je rovna 3. -
Nakreslete graf funkce \$g\$
3. V továrně na hračky se vyrábějí ze smrkového dřeva o hustotě \$\rho = 570 frac{kg}{m^3}\$ kostičky ve tvaru krychle pro děti. (3 body)
-
Zapište funkci, která vyjdřuje závislost hmotnosti kostičky na délce \$a\$ její hrany a nakreslete její graf.
Objem \$V=a^3\$, hmotnost \$m=\rho\cdot V=0.57\cdot a^3\$ Funkce je: \$m=0.57a^3\$ -
Jaká je hmotnost kostičky při délce hrany \$a=3\ cm\$? (Nápověda: hmotnost = hustota * objem, \$\mathbf{m}\ [kg] = \mathbf{\rho}\ [\frac{kg}{m^3}] \mathbf{* V}\ [m^3]\$)
Hmotnost kostičky o straně \$3\ cm\$ je \$m=0.57\cdot 3^3=15.39\ g\$ (Hustota \$\rho = 570 frac{kg}{m^3}=0.570\ \frac{g}{cm^3}\$ ) -
Kolikrát se zvětší hmotnost kostičky, zdvojnásobí-li se délka její hrany?
Osmkrát. Kolikrát se zvětší hmotnost krychle vůbec nezávisí na tom, jak je krychle velká ani jak je těžká.
\$a_2=2 a_1\$
\$m_1=\rho\cdot V_1\$
\$m_2=\rho\cdot V_2\$
\$\frac{m_2}{m_1}=\frac{\rho\cdot V_2}{\rho\cdot V_1}=\frac{a_2^3}{a_1^3}=\frac{(2a_1)^3}{a_1^3}=\frac{8\cdot a_1^3}{a_1^3}=8\$
4. Určete funkční předpis a nakreslete graf inverzní funkce k funkci \$\mathbf{h: y=\frac{x}{3}+3}\$. Invezní funkci označte písmenkem \$i\$. (2 body)
Budeme se k předpisu funkce chovat jako k rovnici a vyjádříme si x.
\$y=\frac{x}{3}+3\$ odečteme 3
\$y-3=\frac{x}{3}\$ vynásobíme 3
\$3y-9=x\$ prohodíme x s y a máme hotovo
\$y=3x-9\$
Z grafu je vidět, že jsme počítali dobře, protože inverzní a původní funkce jsou souměrně sdružené podle přímky \$y=x\$
5. Určete, zda patří tato funkce \$\mathbf{j: y=\frac{6x-4}{-x+2}}\$ mezi lineární lomené funkce a nakreslete její graf. (2 body)
Funkce patří mezi lineárně lomené funkce, jak je vidět z grafu, ale i proto, že \$c=-1\ne 0, ad-bc\ne 0\$, \$6\cdot 2-(-1)\cdot (-4)=12+4=16\ne 0\$.
