1. Načrtněte graf funkce \(y=1.5*x^2\). Můžete ho nějak využít k sestrojení grafu funkce \(y=-1.5*x^2\)?
Jaká je vzájemná poloha grafů funkcí \(y=ax^2\), \(y=-ax^2\), při daném \(a \ne 0\)?
Řešení 1. úlohy
Z grafu je vidět, že grafy funkcí \(y=1.5*x^2\) a \(y=-1.5*x^2\) jsou symetrické (neboli ozrcadleny) kolem osy \(x\).
Platí to i obecně, funkce \(f_1: y=ax^2\) a \(f_2: y=-ax^2\) jsou symetrické kolem osy \(x\), protože \(f_1(x)=-f_2(x)\). Parametr \(a\) musí být nenulový, protože pro \(a=0\) dostaneme konstatní funkce a nikoli kvadratické funkce \(g_1: y=0*x^2=0\) a \(g_2: y=-0*x^2=0\).
2. Načrtněte v téže soustavě souřadnic \(0xy\) grafy těchto funkcí:
-
\(y=x^2+c\) pro \(c=0; c=3; c=2; c=-0.5\)
-
\(y=(x-k)^2\) pro \(k=0; k=1; k=2.5; k=-2; k=-1.5\)
-
\(y=(x-k)^2+m\) pro \(k=1, m=2\); \(k=1,m=-2\); \(k=1, m=1.5\)
-
\(y=(x-k)^2+m\) pro \(k=-2, m=2\); \(k=-1, m=2\); \(k=0.5, m=2\)
řešení 2. úlohy
Z grafu je vidět, že parametr \(c\) posunuje parabolu nahoru a dolu.
Z grafu je vidět, že parametr \(k\) posunuje parabolu doleva a doprava.
Z grafu je vidět, že parametr \(m\) posunuje parabolu nahoru a dolů, stejně jako v prvním obrázku této úlohy.
3. Načrtněte grafy těchto funkcí:
-
\(y=x^2-2x+3\)
-
\(y=-x^2-6x-8\)
-
\(y=2x^2+5x-1\)
-
\(y=-0.5x^2+x+2\)
Z grafů pak popište vlastnosti těchto funkcí. (Kde je klesající, kde je rostoucí, jak je omezená, kde má minimum resp. maximum.)
řešení 3. úlohy
Z grafu je vidět toto:
-
funkce je klesající v intervalu \(x \in (-\infty, 1)\)
-
funkce je rostoucí v intervalu \(x \in (1, \infty)\)
-
funkce je omezená zdola
-
funkce má minimum v bodě \(x=1\), minimální funkční hodnota je \(y=2\).
Z grafu je vidět toto:
-
funkce je rostoucí v intervalu \(x \in (-\infty, -3)\)
-
funkce je klesající v intervalu \(x \in (-3, +\infty)\)
-
funkce je omezená shora
-
funkce má maximum v bodě \(x=-3\), maximální funkční hodnota je \(y=1\).
Z grafu je vidět toto:
-
funkce je klesající v intervalu \(x \in (-\infty, -1.25)\)
-
funkce je rostoucí v intervalu \(x \in (-1.25, +\infty)\)
-
funkce je omezená zdola
-
funkce má minimum v bodě \(x=-1.25\), minimální funkční hodnota je \(y=4.13\).
Z grafu je vidět toto:
-
funkce je rostoucí v intervalu \(x \in (-\infty, 1)\)
-
funkce je rostoucí v intervalu \(x \in (1, +\infty)\)
-
funkce je omezená shora
-
funkce má maximum v bodě \(x=1\), maximální funkční hodnota je \(y=2.5\).
4. Dokažte, že hodnota funkce \(y=x^2-4x+5\) je v každém bodě kladné číslo. Načrtněte její graf a popište její vlastnosti.
Nápověda: Důkaz můžete začít tak, že ukážete že rovnice \(x^2-4x+5=0\) nemá řešení v oboru reálných čísel, to znamená že graf funkce neprotíná osu \(x\), dále uvažujte sami.
řešení 4 úlohy
Důkaz 1.:
Provedeme pomocí přímého důkazu.
Parametry naší kvadratické funkce \(y=x^2-4x+5\) jsou \(a=1\), \(b=-4\) a \(c=5\). Parametr \(a>0\), to znamená že funkce je omezená zdola. Funkční hodnotu v minimu můžeme spočítat pomocí vzorce
\(y=c-\frac{b^2}{4a}\)
Dosadíme: \(y=5-\frac{(-4)^2}{4*1}=\frac{20-16}{4}=\frac{4}{4}=1\)
Naše funkce je zdola omezená číslem 1, proto všechny funkční hodnoty jsou větší nebo rovno 1. To znamená že všechny funkční hodnoty jsou kladné číslo \(\square\).
Důkaz 2.:
Pomocí důkazu sporem.
Pokud má mít funkce \(y=x^2-4x+5\) některé funkční hodnoty menší než 0, potom graf musí protínat osu \(x\), tzn. že rovnice \(x^2-4x+5=0\) má řešení v oboru reálných čísel nebo musí být celá parabola pod osou \(x\).
Diskriminant \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4*1*5=16-20=-4 < 0\). Diskriminant je záporný, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, tudíž graf funkce neprotíná osu \(x\) a proto celá parabola leží buď nad osou \(x\) nebo pod osou \(x\).
Dosadíme do funkce libovolnou hodnotu a zjistíme, kde parabola leží. Pro \(x=1\) je funkční hodnota \(y=1^2-4*1+5=1-4+5=2 > 0\) → parabola leží nad osou \(x\).
Diskriminant je záporný, rovnice nemá řešení v reálných číslech, parabola neprotíná osu \(x\) a leží celá nad osou \(x\) a to je spor. Platí proto, že všechny funkční hodnoty jsou kladné \(\square\).