V každém příkladě je vyžadována slovní odpověď (např. Kořen rovnice je 15; nebo Rovnice má řešení \$x_1=5\$ a \$x_2=-5\$) a zkouška. U kvadratické rovnice můžete udělat zkoušku klasickým způsobem, nebo pomocí Vietových vzorců.
1. Řešte rovnici: \$-x^2+32=0\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=0^2-4*(-1)*32=2^7=128 \gt 0\$, proto budou 2 kořeny.
Kořeny: \$x_1=-frac{-0+sqrt{128}}{2}=-frac{sqrt{64*2}}{2}=frac{8*sqrt{2}}{2}=4*sqrt{2} \approx -5.65\$
\$x_2=-frac{-sqrt{128}}{2}=4*sqrt{2} \approx 5.65\$
\$K={x_1=-4*sqrt{2}; x_2=4*sqrt{2}}\$
Zkouška: \$L_1=-(4*sqrt{2})^2+32=-(16*2)+32=-32+32=0\$; \$P_1=0\$, což nám sedí.
obdobně: \$L_2=-(-4*sqrt{2})^2+32=-(16*2)+32=-32+32=0\$; \$P_2=0\$, což opět sedí.
2. Řešte rovnici: \$frac{1}{2}*x^2+8*x-16=0\$
\$K={x_1=-8+4*sqrt{6} \approx -17.79; x_2=-8-4*sqrt{6} \approx 1.79}\$
Zkouška:
\$L_1=frac{1}{2}*(-8+4*sqrt{6})^2+8*(-8+4*sqrt{6})-16=frac{1}{2}*(64-2*8*4*sqrt{6}+16*6)-64+32*sqrt{6}-16=\$
\$=32-32*sqrt{6}+48-64+32*sqrt{6}-16=32+48-64-16=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=frac{1}{2}*(-8-4*sqrt{6})^2+8*(-8-4*sqrt{6})-16=frac{1}{2}*(64+2*8*4*sqrt{6}+16*6)-64-32*sqrt{6}-16=\$
\$=32+32*sqrt{6}+48-64-32*sqrt{6}-16=32+48-64-16=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
3. Řeště rovnici: \$3*x^2=x+4\$
\$K={x_1=-1; x_2=frac{4}{3}}\$
Zkouška:
\$L_1=3*(-1)^2=3\$ \$P_1=-1+4=3\$; Sedí.
\$L_2=3*(frac{4}{3})^2=frac{3*16}{9}=frac{16}{3}=5frac{1}{3}\$; \$L_2=frac{4}{3}+4=frac{4+12}{3}=frac{16}{3}\$; Sedí.
4. Řešte rovnici: \$5*x^2-20*x=5\$
\$K={x_1=2+sqrt{5}; x_2=2-sqrt{5}}\$
Zkouška:
\$L_1=5*(2+sqrt{5})^2-20*(2+sqrt{5})=5*(4+4*sqrt{5}+5)-40-20*sqrt{5}=20+20*sqrt{5}+25-40-20*sqrt{5}=5\$
\$L_2=5*(2-sqrt{5})^2-20*(2-sqrt{5})=5*(4-4*sqrt{5}+5)-40+20*sqrt{5}=20+20*sqrt{5}+25-40-20*sqrt{5}=5\$
\$P_1=5\$ a \$P_2=5\$, zkoška sedí.
5. Kořeny kvadratické rovnice jsou \${x_1=1+frac{2*sqrt{3}}{3}; x_2=1-frac{2*sqrt{3}}{3}}\$, absolutní člen \$c=12\$, sestavte odpovídající kvadratickou rovnici. Místo zkoušky sestavenou kvadratickou rovnici vyřešte.
Použijeme Vietovy vzorce: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ a \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$1+frac{2*sqrt{3}}{3}+1-frac{2*sqrt{3}}{3}=2\$; \$-frac{b}{a}=2\$
\$(1+frac{2*sqrt{3}}{3})*(1-frac{2*sqrt{3}}{3})=frac{12}{a}\$
\$1-frac{2*sqrt{3}}{3}+frac{2*sqrt{3}}{3}-frac{4*3}{9}=frac{12}{a}\$
\$frac{9-12}{9}=frac{12}{a}\$
\$frac{-3}{9}=frac{12}{a}\$
\$a=-frac{12*9}{3}=-36\$
\$b=-2*(-36)=72\$
Rovnice je: \$-36*x^2+72*x+12=0\$
Řešení rovnice: Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=72^2-4*(-36)*12=6912\$; 2 kořeny.
\$x_1=frac{-72+sqrt{6912}}{-2*36}=frac{72-sqrt{64*9*4*3}}{72}=1-frac{8*3*2*sqrt{3}}{2*4*9}=1-frac{2*sqrt{3}}{3}\$
\$x_2=1+frac{2*sqrt{3}}{3}\$