V každém příkladě je vyžadována slovní odpověď (např. Kořen rovnice je 15; nebo Rovnice má řešení \$x_1=5\$ a \$x_2=-5\$) a zkouška. U kvadratické rovnice můžete udělat zkoušku klasickým způsobem, nebo pomocí Vietových vzorců.
1. Řešte rovnici: \$-x^2+121=0\$
Kořeny: \${x_1=11; x_2=-11}\$ Řešení je triviální. Dá se řešit zpaměti.
Zkouška: \$L_1=-(11)^2+121=0=P_1\$
\$L_2=-(-11)^2+121=0=P_2\$
2. Řešte rovnici: \$2*x^2+3*x-144=0\$
Diskriminant \$D=3^2-4*2*(-144)=9+8*144=9+1152=1161 >0\$, rovnice bude mít 2 reálné kořeny.
\$x_1=frac{-3+sqrt{1161}}{2*2}=frac{-3+3sqrt{9*129}}{4}=frac{-3+3*sqrt{129}}{4} \approx 7.77 \$
\$x_2=frac{-3-sqrt{1161}}{2*2}=frac{-3-3sqrt{9*129}}{4}=frac{-3-3*sqrt{129}}{4} \approx -9.27\$
Kořeny jsou: \${x_1=frac{-3+3*sqrt{129}}{4}; x_2=frac{-3+3*sqrt{129}}{4}}\$
Zkouška:
\$L_1=2*(frac{-3+3*sqrt{129}}{4})^2+3*(frac{-3+3*sqrt{129}}{4})-144=frac{1}{8}*(9-2*3*3*sqrt{129}+9*129)-frac{9}{4}+frac{9*sqrt{129}}{4}-144=\$
\$=frac{9}{8}-frac{9*sqrt{129}}{4}+frac{9*129}{8}-frac{9}{4}+frac{9*sqrt{129}}{4}-144=frac{9+9*129-18-144*8}{8}=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=2*(frac{-3-3*sqrt{129}}{4})^2+3*(frac{-3-3*sqrt{129}}{4})-144=frac{1}{8}*(9+2*3*3*sqrt{129}+9*129)-frac{9}{4}-frac{9*sqrt{129}}{4}-144=\$
\$=frac{9}{8}+frac{9*sqrt{129}}{4}+frac{9*129}{8}-frac{9}{4}-frac{9*sqrt{129}}{4}-144=frac{9+9*129-18-144*8}{8}=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
3. Řeště rovnici: \$4*x^2-9=0\$
Kořeny: \${x_1=frac{3}{2}; x_2=-frac{3}{2}}\$
Zkouška:
\$L_1=4*(frac{3}{2})^2-9=frac{4*9}{4}-9=0\$, což sedí s \$P_1=0\$
\$L_2=4*(-frac{3}{2})^2-9=frac{4*9}{4}-9=0\$, což sedí s \$P_2=0\$
4. Řešte rovnici: \$25*x^2=-5*x\$
Kořeny: \$x_1=-frac{1}{5}; x_2=0\$
Zkouška:
\$L_1=25*(-frac{1}{5})^2=1\$, což sedí s \$P_1=-5*(-frac{1}{5})=1\$
\$L_2=25*(0)^2=0\$, což sedí s \$P_2=-5*0=0\$. ---
5. Kořeny kvadratické rovnice jsou \${x_1=-2+2*sqrt{3}; x_2=-2-2*sqrt{3}}\$, absolutní člen \$c=-32\$, sestavte odpovídající kvadratickou rovnici. Místo zkoušky sestavenou kvadratickou rovnici vyřešte.
1. Vietův vzorec: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$;
Koeficient \$a \ne 0\$, to plyne z definice kvadratické rovnice. Koeficient c známe ze zadání \$c=-32\$.
Dosadíme kořeny \$x_1, x_2\$: \$-2+2*sqrt{3}+(-2-2*sqrt{3})=-frac{b}{a}\$
\$-frac{b}{a}=-4\$, vyjádříme si a \$a=frac{b}{4}\$
2. Vietův vzorec: \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$frac{c}{a}=(-2+2*sqrt{3})*(-2-2*sqrt{3})=4+4*sqrt{3}-4*sqrt{3}-4*3=-8\$
Dosadíme za a a c: \$frac{-32}{frac{b}{4}}=-8\$
\$frac{-32*4}{b}=-8\$ → \$b=frac{-32*4}{-8}\$ → \$b=16\$
\$a=frac{16}{4}=4\$
Rovnice bude: \$4*x^2+16*x-32=0\$
Koeficienty: \$a=4, b=16, c=-32\$
Diskriminant: \$D=16^2-4*4*(-32)=256+16*32=768 \gt 0\$, 2 kořeny.
\$x_1=frac{-16+sqrt{768}}{2*4}=\$