V každém příkladě je vyžadována slovní odpověď (např. Kořen rovnice je 15; nebo Rovnice má řešení \$x_1=5\$ a \$x_2=-5\$) a zkouška. U kvadratické rovnice můžete udělat zkoušku klasickým způsobem, nebo pomocí Vietových vzorců.
1. Řešte rovnici: \$12*x-24-frac{4}{x}=0\$
Vynásobíme rovnici x. \$12*x^2-24*x-4=0\$ Koeficienty: \$a=12,b=-24,c=-4\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-24)^2-4*12*(-4)=576+=576+192=768 \gt 0\$, rovnice má 2 reálné kořeny.
\$x_1=frac{24+sqrt{768}}{2*12}=frac{24+sqrt{256*3}}{24}=frac{24+16*sqrt{3}}{2*3*4}=1+frac{2*sqrt{3}}{3} \approx 2.1547\$
\$x_2=1-frac{2*sqrt{3}}{3} \approx -0.1547\$
Zkouška: Dosadíme do původní rovnice.
\$L_1=12*(frac{3+2*sqrt{3}}{3})-24-frac{4}{frac{3+2*sqrt{3}}{3}}=12+8*sqrt{3}-24-frac{12}{3+2*sqrt{3}}=-12+8*sqrt{3}-frac{12}{3+2*sqrt{3}}=\$
\$=frac{-12*(3+2*sqrt{3})+8*sqrt{3}*(3+2*sqrt{3})-12}{3+2*sqrt{3}}=frac{-36-24*sqrt{3}+24*sqrt{3}+16*3-12}{3+2*sqrt{3}}=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=12*(frac{3-2*sqrt{3}}{3})-24-frac{4}{frac{3-2*sqrt{3}}{3}}=12-8*sqrt{3}-24-frac{12}{3-2*sqrt{3}}=-12-8*sqrt{3}-frac{12}{3-2*sqrt{3}}=\$
\$=frac{-12*(3-2*sqrt{3})-8*sqrt{3}*(3-2*sqrt{3})-12}{3-2*sqrt{3}}=frac{-36+24*sqrt{3}-24*sqrt{3}+16*3-12}{3+2*sqrt{3}}=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
2. Řešte rovnici: \$4*x^2+16*x-32=0\$
Koeficienty: \$a=4, b=16, c=-32\$, diskriminant: \$D=16^2-4*4*(-32)=256+512=768 \gt 0\$, 2 kořeny.
\$x_1=frac{-16+sqrt{768}}{2*4}=-2+frac{sqrt{16*16*3}}{8}=-2+2*sqrt{3}\$
\$x_2=-2-2*sqrt{3}\$
Zkouška:
\$L_1=4*(-2+2*sqrt{3})^2+16*(-2+2*sqrt{3})-32=4*(4*3-2*2*2*sqrt{3}+4)-32+32*sqrt{3}-32=\$
\$=48-32*sqrt{3}+16-32+32*sqrt{3}-32=48+16-32-32=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=4*(-2-2*sqrt{3})^2+16*(-2-2*sqrt{3})-32=4*(4+4*sqrt{3}+4*sqrt{3}+4*3)-32-32*sqrt{3}-32=\$
\$=16+32*sqrt{3}+48-32-32*sqrt{3}-32=16+48-32-32=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
3. Řeště rovnici: \$8*x^2-64=0\$
Ryze kvadratická rovnice. Kořeny jsou:
\$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}=sqrt{frac{64}{8}}=2*sqrt{2}\$
\$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}=-sqrt{frac{64}{8}}=-2*sqrt{2}\$
Zkouška:
\$L_1=8*(2*sqrt{2})^2-64=8*4*2-64=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=8*(-2*sqrt{2})^2-64=8*4*2-64=0\$, což opět sedí s \$P_2=0\$.
4. Řešte rovnici: \$8*x^2=-64*x\$
Kvadratická rovnice bez absolutního členu. \$8*x^2+64*x=0\$, koeficienty: \$a=8,b=64,c=0\$
Diskriminant: \$D=b^2=64^2=4096 \gt 0\$, rovnice bude mít 2 kořeny.
\$x_1=frac{-64+sqrt{4096}}{2*8}=frac{-64+64}{16}=0\$
\$x_2=frac{-64-64}{16}=-8\$
Zkouška:
\$L_1=8*0^2=0\$, sedí s \$P_1=-64*0=0\$.
\$L_2=8*(-8)^2=8*64=512\$, což sedí s \$P_2=-64*(-8)=512\$.
5. Kořeny kvadratické rovnice jsou \${x_1=15; x_2=-15}\$, absolutní člen \$c=-225\$, sestavte odpovídající kvadratickou rovnici. Místo zkoušky sestavenou kvadratickou rovnici vyřešte.
Použijeme Vietovy vzorce: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$; \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$-frac{b}{a}=15-15=0\$, z toho plyne že \$b=0\$, \$a \ne 0\$.
\$frac{c}{a}=frac{-255}{a}=15*(-15)\$ → \$a=frac{255}{15*15}=frac{255}{255}=1\$
Rovnice je: \$x^2-225=0\$.
Řešení rovnice:
\$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}=sqrt{frac{225}{1}}=15\$
\$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}=-sqrt{frac{225}{1}}=-15\$