1. Řešte rovnici: \$12*x-48+frac{1}{x}=0\$
Vynásobíme rovnici x, předpoklad je \$x \ne 0\$
\$12*x^2-48*x+1=0\$, to je kvadratická rovnice s koeficienty \$a=12, b=-48, c=1\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-48)^2-4*12*1=2256 \gt 0\$, rovnice bude mít 2 kořeny.
Kořeny: \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{48+sqrt{2256}}{2*12}=frac{48+sqrt{4*4*141}}{24}=frac{4*12+4*sqrt{141}}{4*6}=frac{12+sqrt{141}}{6}=2+frac{sqrt{141}}{6} \approx 3.97905\$
\$x_2=2-frac{sqrt{141}}{6} \approx 0.02094\$
Zkouška:
\$L_1=12*(2+frac{sqrt{141}}{6})-48+frac{1}{frac{12+sqrt{141}}{6}}=-24+2*sqrt{141}+frac{6}{12+sqrt{141}}=frac{-24*(12+sqrt{141})+2*sqrt{141}*(12+sqrt{141})+6}{12+sqrt{141}}=\$
\$=frac{-288-24*sqrt{141}+24*sqrt{141}+282+6}{12+sqrt{141}}=frac{-288+282+6}{12+sqrt{141}}=0\$, což sedí s \$P_1=0\$
\$L_2=12*(2-frac{sqrt{141}}{6})-48+frac{1}{frac{12-sqrt{141}}{6}}=-24-2*sqrt{141}+frac{6}{12-sqrt{141}}=frac{-24*(12-sqrt{141})-2*sqrt{141}*(12-sqrt{141})+6}{12-sqrt{141}}=\$
\$=frac{-288+24*sqrt{141}-24*sqrt{141}+282+6}{12-sqrt{141}}=frac{-288+282+6}{12-sqrt{141}}=0\$, což sedí s \$P_2=0\$
2. Řešte rovnici: \$5*x^2+25*x-32=0\$
Kvadratická rovnice s koeficienty \$a=5,b=25,c=-32\$, diskriminant: \$D=25^2-4*5*(-32)=625+640=1265 \gt 0\$, rovnice bude mít 2 kořeny.
\$x_1=frac{-25+sqrt{1265}}{10} \approx 1.05668\$
\$x_2=frac{-25-sqrt{1265}}{10} \approx -6.05668\$
Zkouška:
\$L_1=5*(frac{-25+sqrt{1265}}{10})^2+25*(frac{-25+sqrt{1265}}{10})-32=frac{5}{100}*(sqrt{1265}-25)^2+frac{-625+25*sqrt{1265}}{10}-32=\$
\$=frac{5}{100}*(1265-50*sqrt{1265}+625)-62.5+2.5*sqrt{1265}-32=\$
\$=63.25-2.5*sqrt{1265}+31.25-62.5+2.5*sqrt{1265}-32=63.25+31.25-62.5-32=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=5*(frac{-25-sqrt{1265}}{10})^2+25*(frac{-25-sqrt{1265}}{10})-32=frac{5}{100}*(sqrt{1265}+25)^2-frac{625+25*sqrt{1265}}{10}-32=\$
\$=frac{5}{100}*(1265+50*sqrt{1265}+625)-62.5-2.5*sqrt{1265}-32=\$
\$=63.25+2.5*sqrt{1265}+31.25-62.5-2.5*sqrt{1265}-32=63.25+31.25-62.5-32=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
3. Řeště rovnici: \$4*x^2-32=0\$
Ryze kvadratická rovnice: \$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}=sqrt{frac{32}{4}}=sqrt{8}=2*sqrt{2}\$, \$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}=-2*sqrt{2}\$
Zkouška:
\$L_1=4*(2*sqrt{2})^2-32=4*2^2*sqrt{2}^2=4*4*2-32=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=4*(-2*sqrt{2})^2-32=4*2^2*sqrt{2}^2=4*4*2-32=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
4. Řešte rovnici: \$5*x^2=-25*x\$
Upravíme na: \$x^2+5*x=0\$, což je kvadratická rovnice bez absolutního členu.
Diskriminant: \$D=5^2-4*1*0=25\$, rovnice bude mít 2 řešení.
\$x_1=frac{-5+sqrt{25}}{2}=frac{-5+5}{2}=0\$
\$x_2=frac{-5-sqrt{25}}{2}=frac{-5-5}{2}=-5\$
Zkouška: \$L_1=5*(0)^2=0\$, \$P_1=-25*(0)=0\$
\$L_2=5*(-5)^2=5*25=125\$, \$P_2=-25*(-5)=125\$
Zkouška sedí.
5. Kořeny kvadratické rovnice jsou \${x_1=4; x_2=-4}\$, absolutní člen \$c=-16\$, sestavte odpovídající kvadratickou rovnici. Místo zkoušky sestavenou kvadratickou rovnici vyřešte.
Použijeme Vietovy vzorce: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ a \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$-frac{b}{a}=4-4=0\$, z toho plyne, že \$b=0\$
\$frac{c}{a}=4*(-4)=-16\$, \$c=-16\$ proto \$frac{-16}{a}=-16\$ a z toho plyne, že \$a=1\$
Rovnice je: \$x^2-16=0\$
Řešení rovnice: \$x^2=16\$, odmocníme a máme \$x_1=sqrt{16}=4\$ a \$x_2=-4\$