V každém příkladě je vyžadována slovní odpověď (např. Kořen rovnice je 15; nebo Rovnice má řešení \$x_1=5\$ a \$x_2=-5\$) a zkouška. U kvadratické rovnice můžete udělat zkoušku klasickým způsobem, nebo pomocí Vietových vzorců.
1. Řešte rovnici: \$-x^2+121=0\$
Kořeny: \${x_1=11; x_2=-11}\$ Řešení je triviální. Dá se řešit zpaměti.
2. Řešte rovnici: \$2*x^2+3*x-144=0\$
Determinant \$D=3^2-4*2*(-144)=9+8*144=9+1152=1161 >0\$, rovnice bude mít 2 reálné kořeny.
\$x_1=frac{-3+sqrt{1161}}{2*2}=frac{-3+3sqrt{9*129}}{4}=frac{-3+3*sqrt{129}}{4} \approx 7.77 \$
\$x_2=frac{-3-sqrt{1161}}{2*2}=frac{-3-3sqrt{9*129}}{4}=frac{-3-3*sqrt{129}}{4} \approx -9.27\$
Kořeny jsou: \${x_1=frac{-3+3*sqrt{129}}{4}; x_2=frac{-3+3*sqrt{129}}{4}}\$
3. Řeště rovnici: \$4*x^2-9=0\$
Kořeny: \${x_1=frac{3}{2}; x_2=-frac{3}{2}}\$
4. Řešte rovnici: \$25*x^2=-5*x\$
Kořeny: \$x_1=-frac{1}{5}; x_2=0\$
5. Kořeny kvadratické rovnice jsou \${x_1=4; x_2=-4}\$, absolutní člen \$c=-16\$, sestavte odpovídající kvadratickou rovnici. Místo zkoušky sestavenou kvadratickou rovnici vyřešte.
1. Vietův vzorec: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$;
Koeficient \$a \ne 0\$, to plyne z definice kvadratické rovnice. Koeficient c známe ze zadání \$c=-16\$.
Dosadíme kořeny \$x_1, x_2\$: \$4-4=-frac{b}{a}\$
\$0=-frac{b}{a}\$ →
\$b=0\$, zbývá určit koeficient \$a\$
2. Vietův vzorec: \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$4*(-4)=frac{-16}{a}\$ → \$-16=frac{-16}{a}\$ → \$1=frac{1}{a}\$ → \$a=1\$
Rovnice bude: \$x^2-16=0\$
Řešení rovnice je očividné: \$x_1=4\$ a \$x_2=-4\$, protože pro \$x_1=4\$ platí: \$4^2-16=16-16=0\$
a pro \$x_2=-4\$ platí \$(-4)^2-16=16-16=0\$.
Rovnici máme ji sestavenou správně.