V každém příkladě je vyžadována slovní odpověď (např. Kořen rovnice je 15; nebo Rovnice má řešení \$x_1=5\$ a \$x_2=-5\$) a zkouška. U kvadratické rovnice můžete udělat zkoušku klasickým způsobem, nebo pomocí Vietových vzorců.
1. Řešte rovnici: \$-x^2+16=0\$
\$K={x_1=4; x_2=-4}\$ jsou vidět hned.
Zkouška: \$L_1=-(4)^2+16=-16+16=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
\$-(-4)^2+16=-16+16=0\$, což opět sedí.
2. Řešte rovnici: \$-x^2+49*x+32=0\$
Koeficienty: \$a=-1, b=49, c=32\$
Diskriminant \$D=b^2-4*a*c=49^2-4*(-1)*32=2401+128=2529 \gt 0\$, budeme mít 2 kořeny.
\$x_1=frac{-49+sqrt{2529}}{2*(-1)}=frac{49-3*sqrt{281}}{2} \approx -0.64\$
\$x_2=frac{-49-sqrt{2529}}{2*(-1)}=frac{49+3*sqrt{281}}{2} \approx 49.64\$
Zkouška:
\$L_1=-(frac{49-3*sqrt{281}}{2})^2+49*(frac{49-3*sqrt{281}}{2})+32=0\$; \$P_1=0\$
\$L_2=-(frac{49+3*sqrt{281}}{2})^2+49*(frac{49+3*sqrt{281}}{2})+32=0\$; \$P_2=0\$
Zkouška sedí.
3. Řeště rovnici: \$16*x^2-64=0\$
Vydělím 16: \$x^2-4=0\$
Přičtu 4: \$x^2=4\$
Odmocním a mám kořeny: \$x_1=2\$ a \$x_2=-2\$
Zkouška: \$L_1=16*2^2-64=0\$, \$P_1=0\$, což sedí,
\$L_2=16*(-2)^2-64=0\$, \$P_2=0\$, což sedí.
Kdo chce řešit pomocí diskriminantu může, ale tohle je jednodušší.
4. Řešte rovnici: \$25*x^2=-5*x\$
\$25*x^2+5*x=0\$ // vytkneme 5x
\$5*x*(5*x+1)\$=0
Kdy se součin dvou výrazů rovná 0. Je to tehdy, pokud se jeden z činitelů rovná 0.
Takže: \$5*x=0\$ a také \$5*x+1=0\$
Kořeny rovnice jsou: \$x_1=0\$ a \$x_2=-frac{1}{5}\$
Zkouška:
\$L_1=25*(0)^2=0\$ což sedí s \$P_1=-5*0=0\$
\$L_2=25*(-frac{1}{5})^2=25*(frac{1}{25})=1\$ což sedí s \$P_2=-5*(-frac{1}{5})=1\$
Kdo chce řešit pomocí diskriminantu může, ale tohle je jednodušší.
5. Kořeny kvadratické rovnice jsou \${x_1=4; x_2=-4}\$, absolutní člen \$c=-16\$, sestavte odpovídající kvadratickou rovnici. Místo zkoušky sestavenou kvadratickou rovnici vyřešte.
Není to náhodou velmi podobná rovnice prvnímu příkladu?
\$x^2-16=0\$
Vietovy vztahy: \$4-4=0=frac{b}{a}\$, \$a \ne 0\$ → \$b=0\$
\$4*(-4)=frac{c}{a}=frac{-16}{a}\$ → \$a=1\$ a máme kvadratickou rovnici \$x^2-16=0\$
Řešení: \$x^2=16\$, odmocním a mám kořeny \$K={x_1=4; x_2=-4}\$