V každém příkladě je vyžadována slovní odpověď (např. Kořen rovnice je 15; nebo Rovnice má řešení \$x_1=5\$ a \$x_2=-5\$) a zkouška. U kvadratické rovnice můžete udělat zkoušku klasickým způsobem, nebo pomocí Vietových vzorců.
1. Řešte rovnici: \$-x^2+16=0\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=0^2-4*(-1)*16=64 \gt 0\$, rovnice bude mít 2 kořeny
Kořeny: \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{-0+sqrt{64}}{2*(-1)}=-frac{8}{2}=4\$
\$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}=frac{-0-sqrt{64}}{2*(-1)}=frac{8}{2}=4\$
Kořeny jsou: \${x_1=-4; x_2=4}\$
Zkouška:
\$L_1=-(-4)^2+16=-16+16=0\$ to sedí s \$P_1=0\$
\$L_2=-(4)^2+16=-16+16=0\$ to sedí s \$P_2=0\$
Nebo se to dá řešit jednoduše takto:
\$-x^2=-16\$ // vynásobím rovnici -1
\$x^2=16\$ // odmocním
a mám kořeny \$x_1=-4; x_2=4\$
2. Řešte rovnici: \$5*x^2+25*x-32=0\$
Kořeny jsou: \${x_1=frac{-25+sqrt{1265}}{10} \approx 1.06; x_2=frac{-25-sqrt{1265}}{10} \approx -6.06}\$, vyřešila to GeoGebra
Ručně to bude takto:
Koeficienty: \$a=5, b=25, c=-32\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=25^2-4*5*(-32)=625+640=1265 \gt 0\$, rovnice bude mít dva reálné kořeny.
\$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{-25+sqrt{1265}}{2*5}=frac{-25+sqrt{1265}}{10}=-2.5+0.1*sqrt{1265} \approx -2.5+3.56 = 1.06\$
\$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}=frac{-25-sqrt{1265}}{2*5}=frac{-25+sqrt{1265}}{10}=-2.5-0.1*sqrt{1265} \approx -2.5-3.56 = -6.06\$
Zkouška kalkulačkou:
\$L_1=5*(1.06)^2+25*1.06-32=0.118\$ což je blízko \$P_1=0\$
\$L_2=5*(-6.06)^2+25*(-6.06)-32=0.0118\$ což je blízko \$P_2=0\$
Je vidět, že kalkulačkou to vypadá, že zkouška vyšla, ale ne tak docela. Proto uděláme zkoušku rukama a hlavou přesně:
\$L_1=5*(-2.5+0.1*sqrt{1265})^2+25*(-2.5+0.1*sqrt{1265})-32=\$
\$=5*(2.5^2-2*2.5*0.1*sqrt{1265}+0.01*1265)-25*2.5+2.5*sqrt{1265}-32=\$
\$=5*2.5^2-2.5*sqrt{1265}+5*12.65-25*2.5+2.5*sqrt{1265}-32=\$
\$=5*6.25+5*12.65-25*2.5-32=31.25+63.25-62.5-32=0\$, což je mnohem lepší než kalkulačkou a rovná se pravé straně \$P_1=0\$ přesně.
\$L_2=5*(-2.5-0.1*sqrt{1265})^2+25*(-2.5-0.1*sqrt{1265})-32=\$
\$=5*(2.5^2+2*2.5*0.1*sqrt{1265}+0.01*1265)-25*2.5-25*0.1*sqrt{1265}-32=\$
\$=31.25+2.5*sqrt{1265}+63.25-62.5-2.5*sqrt{1265}-32=0\$, což přesně sedí s pravou stranou \$P_2=0\$
Zkouška vyšla přesně, počítali jsme dobře. Uff, docela to byla rachota.
3. Řeště rovnici: \$4*x^2-32=0\$
Naivní řešení bez použití diskriminantu, vydělíme rovnici 4.
\$x_2-8=0\$ // přičteme 8
\$x_2=8\$ // odmocníme
\$x_1=sqrt{8}=2sqrt{2}\$ a druhý kořen \$x_2=-2sqrt{2}\$
Zkoušku nám provede GeoGebra, kořeny jsou \$K={x_1=-2sqrt{2} \approx -2.83; x_2=2sqrt{2} \approx 2.83}\$
Kdo to chce vyřešit pomocí diskriminantu, tak může.
Zkouška rukama a hlavou: \$4*(-2*sqrt{2})^2-32=4*4*2-32=32-32=0\$ což sedí s \$P_1=0\$.
\$L_2=4*(2*sqrt{2})^2-32=4*4*2-32=32-32=0\$, což opět sedí.
4. Řešte rovnici: \$5*x^2=-25*x\$
Je to všechno na jedno kopyto. GeoGebra hlásí kořeny: \$K={x_1=-5; x_2=0}\$.
Kdo tomu nevěří, tak ať to přepočítá.
5. Kořeny kvadratické rovnice jsou \${x_1=5; x_2=-5}\$, absolutní člen \$c=-5\$, sestavte odpovídající kvadratickou rovnici. Místo zkoušky sestavenou kvadratickou rovnici vyřešte.
Použijeme krásné Vietovy vzorce pro kořeny kvadratické rovnice \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ a \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$.
Protože sestavujeme kvadratickou rovnici, tak z definice víme, že \$a \ne 0\$.
\$5-5=frac{b}{a}\$ čili \$0=frac{b}{a}\$. Zlomek je roven 0, když je čitatel roven 0. Neboli lineární koeficient \$b=0\$.
Zbývá určit kvadratický koeficient:
\$x_1*x_2=5*(-5)=-25=frac{-5}{a}\$
\$a=frac{-5}{-25}=frac{1}{5}=0.2\$
Rovnice bude: \$frac{1}{5}*x^2-5=0\$ nebo \$0.2*x^2-5=0\$, což je to samé.
Udělám ekvivaletní operaci, vynásobím 5.
\$x^2-25=0\$
a jsou vidět kořeny \$x_1=5; x_2=-5\$, protože \$5^2=25\$ a \$(-5)^2=25\$.