2. písemná práce - řešení

1. příklad: Řešte rovnici: \$abs{-x} = frac{81}{\pi^2}\$

Kořeny jsou vidět okamžitě: \$x_1=frac{81}{\pi^2}\$ nebo \$x_2=-frac{81}{\pi^2}\$, což je přibližně: \$x_1 \approx 8,207015875\$ a \$x_2 \approx -8,207015875\$

Zkouška: \$L_1 = abs{-1*frac{81}{\pi^2}}=frac{81}{\pi^2}\$, \$P_1=frac{81}{\pi^2}\$, sedí.

\$L_2 = abs{-1*-frac{81}{\pi^2}} = frac{81}{\pi^2}\$, \$P_2=frac{81}{\pi^2}\$, sedí.

2. příklad: Řešte rovnici: \$x^2-10*x+25=0\$

Řešíme pomocí vzorce \$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\$.

Rovnice bude: \$(x-5)^2=0\$, protože \$(x-5)^2=(x-5)*(x-5)=x^2-5*x-5*x+25=x^2-10*x+25\$

Kořen rovnice je \$x=5\$.

Zkouška: \$L=5^2-10*5+25=25-50+25=0\$, \$P=0\$, zkouška sedí.

3. příklad: Řeště rovnici: \$4*x^2-32=0\$

Vidíme ryze kvadratickou rovnici, koeficienty jsou \$a=4\$ a \$c=32\$.

Dosadíme do vzorce pro kořeny \$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}\$ a \$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}\$

a dostaneme první kořen: \$x_1 = sqrt{frac{32}{4}} = frac{sqrt{16}*sqrt{2}}{2} = frac{4*sqrt{2}}{2} = 2*sqrt{2}\$

a druhý kořen: \$x_2=-2*sqrt{2}\$

Zkouška: \$L_1=4*(2*sqrt{2})^2-32=4*4*2-32=0\$, \$P_1=0\$, což sedí.

a \$L_2=4*(-2*sqrt{2})^2-32=4*4*2-32=0\$, \$P_2=0\$, což sedí.

4. příklad: Řešte rovnici: \$5*x^2=-25*x\$

Upravíme na: \$5*x^2+25*x=0\$ a vidíme kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Vydělíme 5.

\$x^2+5x=0\$

Vytkneme x a dostaneme: \$x*(x+5)=0\$ (Divide et impera.)

Vidíme kořeny \$x_1=0\$ a \$x_2=-5\$, protože součin se rovná 0, když se nějaký činitel součinu rovná 0, neboli \$x=0\$ a \$x-5=0\$.

Zkouška pro kořen \$x_1=0\$: \$L_1=5*0^2=0\$ \$P_1=-25*0=0\$, což sedí.

pro kořen \$x_2=-5\$: \$L_2=5*(-5)^2=5*25=125\$, \$P_2=-25*(-5)=125\$, což zase sedí.

5. příklad: Řešte rovnici: \$abs{x-2}+abs{2*x-8}=5\$

Budeme řešit metodou nulových bodů, které jsou 2 a 4.

Rozdělíme si množinu reálných čísel na intervaly \$(-\infty,2)\$ a \$\langle 2,4)\$ a \$\langle 4, \infty)\$.

V intervalu \$(-\infty,2)\$ řešíme rovnici \$2-x+8-2*x=5\$ →

\$10-3x=5\$

Rovnice \$10-3x=5\$ má řešení \$x_1=frac{5}{3}=1frac{2}{3}\$, kořen leží v daném intervalu \$(-\infty,2)\$, proto bude řešením rovnice.

V intervalu \$\langle 2,4)\$ dostáváme \$x-2+8-2*x=5\$ → \$-x+6=5\$, která má řešení \$x=1\$ a to není řešením původní rovnice, protože nespadá do zadaného intervalu.

V intervalu \$\langle 4, \infty)\$ řešíme rovnici \$x-2+2*x-8=5\$ →

\$3x-10=5\$.

Tato rovnice má řešení \$x_2=frac{15}{3}=5\$, které je v intervalu \$\langle 4, \infty)\$.

Zkouška pro kořen \$x_1 = frac{5}{3}\$: \$L_1=abs{frac{5}{3}-2}+abs{2*frac{5}{3}-8} = abs{-frac{1}{3}}+abs{frac{10}{3}-frac{24}{3}}=frac{1}{3}+abs{-frac{14}{3}}=frac{15}{3}=5\$, \$P_1=5\$ a to sedí.

Zkouška pro kořen \$x_2 = 5\$: \$L_2=abs{5-2}+abs{2*5-8}=abs{3}+abs{2}=3+2=5\$, \$P_2=5\$ a to sedí.

Množina řešení je \$K = {frac{5}{3}, 5}\$.

1. příklad: Řešte rovnici: \$abs{-x} - 144 = 0\$

Kořeny jsou vidět okamžitě: \$x_1=144\$ nebo \$x_2=-144\$

Zkouška: \$L_1 = abs{-1*144}-144=144-144=0\$, \$P_1=0\$, sedí.

\$L_2 = abs{-1*(-144)} - 144 = 144-144=0\$, \$P_2=0\$, sedí.

2. příklad: Řešte rovnici \$x^2-8*x+16=0\$

Řešíme pomocí vzorce \$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\$.

Rovnice bude: \$(x-4)^2=0\$, protože \$(x-4)^2=(x-4)*(x-4)=x^2-4*x-4*x+16=x^2-8*x+16\$

Kořen rovnice je \$x=4\$.

Zkouška: \$L=4^2-8*4+16=8-24+16=0\$, \$P=0\$, zkouška sedí.

3. příklad: Řešte rovnici: \$-16*x^2+25=0\$

Vidíme ryze kvadratickou rovnici s koeficienty: \$a=-16\$ a \$c=25\$.

Provedeme ekvivaletní operaci, odečteme 25, rovnice bude: \$-16x^2=-25\$ a další ekvivalentní operace, vynásobíme (-1)

\$16x^2=25\$

Dále vydělíme 16: \$x^2 = frac{25}{16}\$

Můžeme odmocnit a dostáváme kořeny: \$x_1=sqrt{frac{25}{16}}=frac{sqrt{25}}{sqrt{16}}=frac{5}{4}\$ a \$x_2=-frac{5}{4}\$

Nebo si pamatujeme vzorec pro kořeny ryze kvadratické rovnice: \$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}\$ a \$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}\$ a rovnou dosadíme:

a dostaneme první kořen: \$x_1 = sqrt{frac{-25}{-16}} = sqrt{frac{25}{16}} = frac{sqrt{25}}{sqrt{16}} = frac{5}{4}\$

a druhý kořen: \$x_2=-sqrt{frac{-25}{-16}}=-sqrt{frac{25}{16}}=-frac{5}{4}\$

4. příklad: Řešte rovnici: \$6*x^2=-36*x\$

Upravíme na: \$6*x^2+36*x=0\$ a vidíme kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Vydělíme 6.

\$x^2+6x=0\$

Vytkneme x a dostanme: \$x*(x+6)=0\$ (Divide et impera.)

Vidíme kořeny \$x_1=0\$ a \$x_2=-6\$, protože součin se rovná 0, když se nějaký činitel součinu rovná 0, neboli \$x=0\$ a \$x-6=0\$.

Zkouška pro kořen \$x_1=0\$: \$L_1=6*0^2=0\$ a \$P_1=-36*0=0\$, sedí.

a pro kořen \$x_2=-6\$: \$L_2=6*(-6)^2=6*36=216\$ a \$P_2=-36*(-6)=216\$, což opět sedí.

5. příklad: Řešte rovnici: \$abs{x-1}+abs{x}=4\$

Budeme řešit metodou nulových bodů, které jsou 1 a 0.

Rozdělíme si množinu reálných čísel na intervaly \$(-\infty,0)\$ a \$\langle 0,1)\$ a \$\langle 1, \infty)\$.

V intervalu \$(-\infty,0)\$ řešíme rovnici \$1-x-x=4\$ → \$1-2x=4\$

Ta má řešení \$x_1=-frac{3}{2}\$ a kořen leží v daném intervalu \$(-\infty,0)\$.

V intervalu \$\langle 0,1)\$ dostáváme nesmysl \$1=4\$, takže zde rovnice nebude mít řešení.

V intervalu \$\langle 1, \infty)\$ řešíme rovnici \$2*x-1=4\$.

Tato rovnice má řešení \$x_2=frac{5}{2}=2.5\$, které je v intervalu \$\langle 1, \infty)\$.

Zkouška pro kořen \$x_1 = -frac{3}{2}\$: \$L_1=abs{-frac{3}{2}-1}+frac{3}{2} = abs{-frac{5}{2}}+frac{3}{2}=frac{5}{2}+frac{3}{2}=frac{8}{2}=4\$, \$P_1=4\$ a to sedí.

Zkouška pro kořen \$x_2=frac{5}{2}\$: \$L_2=abs{frac{5}{2}-1}+abs{frac{5}{2}}=abs{frac{3}{2}}+abs{frac{5}{2}}=frac{5}{2}+frac{3}{2}=frac{8}{2}=4\$, \$P_2=4\$ a to sedí.

1. příklad: Řešte rovnici: \$abs{-x} = 225\$

Kořeny jsou vidět okamžitě: \$x_1=225\$ nebo \$x_2=-225\$

Zkouška: \$L_1 = abs{-1*225}=abs{-225}=225\$, \$P_1=225\$, sedí.

\$L_2 = abs{-1*(-225)} = abs{225}=225\$, \$P_2=225\$, sedí.

2. příklad: Řešte rovnici: \$x^2-6*x+9=0\$

Řešíme pomocí vzorce \$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\$.

Rovnice bude: \$(x-3)^2=0\$, protože \$(x-3)^2=(x-3)*(x-3)=x^2-3*x+3*x+3^2=x^2-6*x+9\$

Kořen rovnice je \$x=3\$.

Zkouška: \$L=3^2-6*3+9=9-18+9=0\$, \$P=0\$, zkouška sedí.

3. příklad: Řeště rovnici: \$9*x^2-64=0\$

Vidíme ryze kvadratickou rovnici, koeficienty jsou \$a=9\$ a \$c=-64\$.

Dosadíme do vzorce pro kořeny \$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}\$ a \$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}\$

a dostaneme první kořen: \$x_1 = sqrt{frac{64}{9}} = frac{8}{3}\$

a druhý kořen: \$x_2=-frac{8}{3}\$

Zkouška: \$L_1=9*(frac{8}{3})^2-64=9*frac{64}{9}-64=0\$, \$P_1=0\$, což sedí.

a \$L_2=9*(-frac{8}{3})^2-64=9*frac{64}{9}-64=0\$, \$P_2=0\$, což sedí.

4. příklad: Řešte rovnici: \$5*x^2=-25*x\$

Upravíme na: \$5*x^2+25*x=0\$ a vidíme kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Vydělíme 5.

\$x^2+5x=0\$

Vytkneme x a dostanme: \$x*(x+5)=0\$ (Divide et impera.)

Vidíme kořeny \$x_1=0\$ a \$x_2=-5\$, protože součin se rovná 0, když se nějaký činitel součinu rovná 0, neboli \$x=0\$ a \$x-5=0\$.

Zkouška pro kořen \$x_1=0\$: \$L_1=5*0^2=0\$ a \$P_1=-25*0=0\$, sedí.

a pro kořen \$x_2=-5\$: \$L_2=5*(-5)^2=5*25=125\$ a \$P_2=-25*(-5)=125\$, což opět sedí.

5. příklad: Řešte rovnici: \$abs{x+8}+abs{x-4}=16\$

Budeme řešit metodou nulových bodů, které jsou -8 a 4.

Rozdělíme si množinu reálných čísel na intervaly \$(-\infty,-8)\$ a \$\langle -8,4)\$ a \$\langle 4, \infty)\$.

V intervalu \$(-\infty,-8)\$ řešíme rovnici \$-2*x-4=16\$

\$-2*x=20\$

\$x=-10\$

Ta má řešení \$x_1=-10\$ a kořen leží v daném intervalu \$(-\infty,8)\$, takže patří do množiny řešení.

V intervalu \$\langle -8,4)\$ dostáváme rovnici \$x+8+4-x=16\$, takže zde rovnice nebude mít řešení.

V intervalu \$\langle 4, \infty)\$ řešíme rovnici \$x+8+x-4=2*x+4=16\$.

\$x+2=8\$

Tato rovnice má řešení \$x_2=6\$, kořen leží v daném intervalu, takže je součástí množiny řešení.

Zkouška pro kořen \$x_1 = -10\$: \$L_1=abs{-10+8}+abs{-10-4} = abs{-2}+abs{-14}=2+14=16\$, \$P_1=16\$ a to sedí.

Zkouška pro kořen \$x_2 = 6\$: \$L_2=abs{6+8}+abs{6-4}=abs{14}+abs{2}=14+2=16\$, \$P_2=16\$ a to sedí.

Množina řešení je \$K = {-10, 6}\$.

1. příklad: Řešte rovnici: \$abs{-x} = 64\$

Kořeny jsou vidět okamžitě: \$x_1=64\$ nebo \$x_2=-64\$

Zkouška: \$L_1 = abs{-1*64}=abs{-64}=64\$, \$P_1=64\$, sedí.

\$L_2 = abs{-1*(-64)} = abs{64}=64\$, \$P_2=64\$, sedí.

2. příklad: Řešte rovnici: \$x^2-14*x+49=0\$

Řešíme pomocí vzorce \$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\$.

Rovnice bude: \$(x-7)^2=0\$, protože \$(x-7)^2=(x-7)*(x-7)=x^2-7*x+7*x+7^2=x^2-14*x+49\$

Kořen rovnice je \$x=7\$.

Zkouška: \$L=7^2-14*7+49=49-98+49=0\$, \$P=0\$, zkouška sedí.

3. příklad: Řeště rovnici: \$4*x^2-49=0\$

Vidíme ryze kvadratickou rovnici, koeficienty jsou \$a=4\$ a \$c=-49\$.

Dosadíme do vzorce pro kořeny \$x_1=sqrt{frac{-c}{a}}\$ a \$x_2=-sqrt{frac{-c}{a}}\$

a dostaneme první kořen: \$x_1 = sqrt{frac{49}{4} = frac{7}{2}\$

a druhý kořen: \$x_2=-frac{7}{2}\$

Zkouška: \$L_1=4*(frac{7}{2})^2-49=4*frac{49}{4}-49=0\$, \$P_1=0\$, což sedí.

a \$L_2=4*(-frac{7}{2})^2-49=4*frac{49}{4}-49=0\$, \$P_2=0\$, což sedí.

4. příklad: Řešte rovnici: \$3*x^2=-120*x\$

Upravíme na: \$3*x^2+120*x=0\$ a vidíme kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Vydělíme 3.

\$x^2+40x=0\$

Vytkneme x a dostaneme: \$x*(x+40)=0\$ (Divide et impera.)

Vidíme kořeny \$x_1=0\$ a \$x_2=-40\$, protože součin se rovná 0, když se nějaký činitel součinu rovná 0, neboli \$x=0\$ a \$x-40=0\$.

Zkouška pro kořen \$x_1=0\$: \$L_1=3*0^2=0\$ a \$P_1=-120*0=0\$, sedí.

a pro kořen \$x_2=-40\$: \$L_2=3*(-40)^2=3*1600=4800\$ a \$P_2=-120*(-40)=4800\$, což opět sedí.

5. příklad: Řešte rovnici: \$abs{x+3}+abs{x-12}=18\$

Budeme řešit metodou nulových bodů, které jsou -3 a 12.

Rozdělíme si množinu reálných čísel na intervaly \$(-\infty,-3)\$ a \$\langle -3,12)\$ a \$\langle 12, \infty)\$.

V intervalu \$(-\infty,-3)\$ řešíme rovnici \$-2*x+9=18\$

\$-2*x=9\$

\$x=-frac{9}{2}=4.5\$

Ta má řešení \$x_1=-4.5\$ a kořen leží v daném intervalu \$(-\infty,-3)\$, takže patří do množiny řešení.

V intervalu \$\langle -3,12)\$ dostáváme rovnici \$x+3+12-x=18\$, takže zde rovnice nebude mít řešení.

V intervalu \$\langle 12, \infty)\$ řešíme rovnici \$x+3+x-12=2*x-9=18\$.

\$2x=18+9\$

\$x=frac{27}{2}\$

Tato rovnice má řešení \$x_2=13.5\$, kořen leží v daném intervalu, takže je součástí množiny řešení.

Zkouška pro kořen \$x_1 = -4.5\$: \$L_1=abs{-4.5+3}+abs{-4.5-12} = abs{-1.5}+abs{-16.5}=1.5+16.5=18\$, \$P_1=18\$ a to sedí.

Zkouška pro kořen \$x_2 = 13.5\$: \$L_2=abs{13.5+3}+abs{13.5-12}=abs{16.5}+abs{1.5}=16.5+1.5=18\$, \$P_2=18\$ a to sedí.

Množina řešení je \$K = {-4.5, 13.5}\$.

Za každý správně vyřešený příklad je možno obdržet 2 body.

Jeden bod se strhává za: