Je tohle kvadratická rovnice ?

V rovnici máme výraz \$frac{1}{x}\$, protože neumíme dělit 0, musíme předpokládat, že proměnná \$x \ne 0\$.

Výrazu \$frac{1}{x}\$ na levé straně rovnice bychom se potřebovali nějak zbavit.

Co když obě strany vynásobíme proměnnou x?

\$x*(5*x-2-frac{1}{x})=0*x\$

Roznásobíme výraz na levé straně, pravá strana bude nulová, ať se děje co se děje:

\$5*x*x-2*x-x*frac{1}{x}=0\$

\$5*x^2-2*x-1=0\$

Hle, máme kvadratickou rovnici, tu umíme řešit.

Standardní postup:

Koeficienty \$a=5, b=-2, c=-1\$

Diskriminant \$D=b^2-4*a*c=(-2)^2-4*5*(-1)=4+20=24 \gt 0\$. Rovnice bude mít dva kořeny.

\$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{2+sqrt{24}}{2*5}=frac{2+sqrt{4*6}}{10}=frac{2+2*sqrt{6}}{10}=frac{1+sqrt{6}}{5}\$

\$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}=frac{2-sqrt{24}}{2*5}=frac{2-sqrt{4*6}}{10}=frac{2-2*sqrt{6}}{10}=frac{1-sqrt{6}}{5}\$

Vidíme, že ani jeden z kořenů není nulový \$x_1 \ne 0; x_2 \ne 0\$, což je dobře, protože jsme předpokládali, že nulový být nemůže.

Zkouška:

Vypočtené kořeny budeme dosazovat do původní rovnice \$5*x-2-frac{1}{x}=0\$.

\$L_1=5*(frac{1+sqrt{6}}{5})-2-frac{1}{frac{1+sqrt{6}}{5}}=(1+sqrt{6})-2-frac{5}{1+sqrt{6}}=\$

\$=frac{(1+sqrt{6})*(1+sqrt{6})-2*(1+sqrt{6})-5}{1+sqrt{6}}=frac{1^2+2*1*sqrt{6}+(sqrt{6})^2-2-2*sqrt{6}-5}{1+sqrt{6}}=\$

\$=frac{1+6-2-5}{1+sqrt{6}}=frac{7-7}{1+sqrt{6}}=0\$

Hurá, sedí to s \$P_1=0\$

\$L_2=5*(frac{1-sqrt{6}}{5})-2-frac{1}{frac{1-sqrt{6}}{5}}=(1-sqrt{6})-2-frac{5}{1-sqrt{6}}=\$

\$=frac{(1-sqrt{6})*(1-sqrt{6})-2*(1-sqrt{6})-5}{1-sqrt{6}}=frac{1^2-2*1*sqrt{6}+(sqrt{6})^2-2+2*sqrt{6}-5}{1-sqrt{6}}=\$

\$=frac{1+6-2-5}{1-sqrt{6}}=frac{7-7}{1-sqrt{6}}=0\$

Hurá, sedí to s \$P_2=0\$

Zkouškou jsme prokázali, že umíme řešit i rovnice s proměnnou x ve jmenovateli zlomku.

Při zkoušce jsme používali vzorce, které si již pamatujeme:

\$(u+v)^2=(u+v)*(u+v)=u^2+2*u*v+v^2\$

\$(u-v)^2=(u-v)*(u-v)=u^2-2*u*v+v^2\$