Kvadratická funkce
Kvadratická funkce ja taková funkce, kterou lze vyjádřit předpisem \$\mathbf{f(x)=ax^2+bx+c}\$, kde \$\mathbf{a,b,c}\$ jsou reálná čísla a dále \$\mathbf{a \ne 0}\$. Stejně jako lineární funkce je vždy popsána přímkou, kvadratická funkce je zase vždy popsána parabolou.
Příklad kvadratické funkce
Příkladem kvadratické funkce může být \$f(x)=x^2+4x-9\$. Graf této funkce by vypadal takto:
Kvadratickou funkci bychom mohli schematicky zapsat jako \$ax^2+bx+c\$. Člen \$\mathbf{ax^2}\$ se nazývá kvadratický člen a tento člen musí mít každá kvadratická funkce. Další člen \$\mathbf{bx}\$ se nazývá lineární člen a nemusí se v kvadratické funkci vyskytovat (může být nulový). Například tato funkce \$f(x)=6x^2+4\$ je stále kvadratická funkce s nulovým lineárním členem \$b=0\$. Poslední člen \$\mathbf{c}\$ se nazývá absolutní člen a také není povinný.
Pro funkci \$f(x)=x^2+4x-9\$ by tak platilo:
\$a=1, b=4, c=-9\$
Proč je \$a\$ rovno jedné? Protože zápis \$x^2\$ vlastně znamená \$1*x^2\$, proto \$a=1\$.
Vlastnosti kvadratické funkce
Začneme definičním oborem: Definiční obor kvadratické funkce je celá množina reálných čísel.
Obor hodnot závisí na konkrétní funkci, ale vždy jde do (plus nebo minus) nekonečna.
Kvadratická funkce je v polovině intervalu (definičního oboru) rostoucí a v druhé polovině klesající.
Pokud je lineární člen roven nule (\$b=0\$), kvadratická funkce je sudá.
Kvadratická funkce nikdy není prostá funkce.
Omezení shora nebo sdola
Kvadratická funkce je vždy omezena shora nebo sdola. Závisí to pouze na parametru \$a\$. Pokud je parametr \$a>0\$, graf vypadá jako písmenu "U" a funkce je omezená zdola. Příkladem je funkce \$f(x)=2x^2\$
Vidíme, že všechny funkční hodnoty (všechnyy červené body) jsou nad číslem \$-1\$, funkce je zdola omezená.
Pokud budeme mít funkci \$f(x)=-2x^2\$, tak zase všechny funkční hodnoty jsou pod číslem \$1\$, funkce je shora omezená.
Konvexnost a konkávnost
Konvexnost a konkávnost opět závisí na parametru \$a\$. Kvadratická funkce je konvexní, pokud má tvar písmene „U“ a je konkávní, pokud má tvar převráceného písmene „U“.
Takže pokud je \$a>0\$, graf je konvexní a jestliže je \$a<0\$, graf je konkávní.
Parametr \$a\$ dále ovlivňuje i to, jestli bude graf úzký nebo široký. Čím více se hodnota blíží nule, tím je graf širší a naopak.
Průsečíky s osou x a y
Pokud chceme spočítat průsečíky funkce s osou \$x\$ nebo \$y\$, jen sestavíme jednoduchou rovnici a tu pak vyřešíme. Musíme si jen uvědomit, že funkci můžeme zapsat ve tvaru \$y=ax^2+bx+c\$, což znamená, že y-ovou souřadnici v bodě x = 2 zjistíme tak, že za všechna x dosadíme číslo 2.
Např. pro funkci \$y=x^2-4x+3\$ by platilo, že v bodě \$x=2\$ dostaneme y-ovou souřadnici \$y=2^2-4*2+3=-1\$. Graf funkce tak jistě prochází bodem [2, −1].
Průsečíky s osou x
Pokud chceme vypočítat průsečíky s osou x, pak nás vlastně zajímá x-ová hodnota ve chvíli, kdy platí y = 0. Průsečík s osou x má vždy y-ovou souřadnici 0, podívejte se na následující graf a bude vám to jasné.
Proto v zápisu \$y=x^2-4x+3\$ dosadíme za \$y\$ nulu a vyřešíme rovnici. Výsledné kořeny rovnice jsou x-ové souřadnice průsečíků.
\$x^2-4x+3=0\$
Toto je kvadratická rovnice, kterou můžeme řešit standardními postupy. Můžeme ji například rozložit na součinový tvar \$(x-1)*(x-3)=0\$, z čehož zjistímě, že kořeny jsou \$x_1=1\$ a \$x_2=3\$.
Nebo pomocí diskriminantu \$D=b^2-4*a*c=(-4)^2-4*1*3=16-12=4\$, dostaneme totéž: \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{-(-4)+sqrt{4}}{2*1}=frac{4+2}{2}=3\$ a \$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{-(-4)-sqrt{4}}{2*1}=frac{4-2}{2}=1\$.
Průsečíky s osou \$x\$ jsou body [1, 0] a [3, 0].
Pokud má kvadratická rovnice \$ax^2+bx+c=0\$ řešení v reálných číslech, jsou průsečíky paraboly s osou \$x\$ kořeny této rovnice a mají souřadnice \$\[x_1, 0]\$ a \$\[x_2, 0]\$.
Průsečík s osou y
Pokud chceme získat průsečík s osou y, tak budeme postupovat stejně. Vezmeme si zápis \$y=x^2-4x+3\$ a tentokrát dosadíme nula za \$x\$. V podstatě se ptáme, jaká je funkční hodnota funkce v bodě \$x=0\$:
\$0^2-4*0+3=3\$
Průsečík s osou \$y\$ je bod [0,3]. Vidíte, že průsečík s osou \$y\$ závisí jenom na parametru \$c\$, má souřadnice \$\[0, c]\$.
Jak vypočítat souřadnice vrcholu paraboly
U kvadratické funkce je také velice důležité určit její vrchol (když počítáme minimum nebo maximum). Můžeme použít dva způsoby.
Vrchol paraboly pomocí vzorce
Vrcholem paraboly zapsané jako \$y=ax^2+bx+c\$ je bod V o souřadnicích \$V\[frac{-b}{2a}; c-frac{b^2}{4a}]\$.
Nebo pokud máme funkci napsanou ve tvaru \$y=a(x-m)^2+n\$, pak vrcholem je bod V o souřadnicích \$V\[-m;n]\$.
Vrchol paraboly doplněním na čtverec
Standardní zápis kvadratické funkce vypadá takto: \$f(x)=ax^2+bx+c\$. My si tuto funkci převedemena tvar:
\$\mathbf{g(x)=(x+m)^2+n}\$
kde bod \$\[-m; n\$] je vrchol kvadratické funkce.
Pro naši funkci chceme získat tvar \$(x-2)^2-1\$. Jak tento tvar získáme?
Nejprve si napíšeme pouze tu závorku \$(x+m)\$ a za \$m\$ dosadíme poloviční hodnotu parametru \$b\$ z kvadratické funkce.
Parametr \$b=-4\$, polovina je tak rovna \$-2\$, takže dostaneme zápis: \$(x-2)^2\$.
Teď je na řadě druhý krok, musíme odečíst přebývají položky. Kdybyste tuto závorku roznásobili, nevyšel by vám správný výsledek, nedostali bychom původní funkci: \$(x-2)^2=x^2-4x+4 \ne x^2-4x+3\$.
Od závorky se musí odečíst \$m^2\$ a přičíst parametr \$c\$ z původní funkce.
Tedy konkrétně od závorky odečteme \$(-2)^2\$ a přičteme 3 (parametr \$c\$)
\$(x-2)^2-4+3\$
Po úpravě dostaneme:
\$(x-2)^2-1\$,
což je finální výsledek. Protože je funkce ve tvaru \$(x+m)^2+n\$, kde \$m=-2\$, \$n=-1\$, tak víme, že vrchol má souřadnice \$\[-m;n]\$, tedy \$\[2;-1\$].
Měli bychom ještě provést kontrolu, zda jsem počítali správně. My jsme převedli kvadratickou funkce \$x^2-4x+3\$ na tvar \$(x-2)^2-1\$. Tento nový tvar by ale měl popisovat stejnou funkci, takže pokud roznásobíme závorku, měli bychom získat původní tvar funkce. Zkusíme tak roznásobit \$(x-2)^2-1\$.
\$(x-2)^2-1=(x-2)*(x-2)-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3\$
Vidíme, že jsme dostali stejnou funkci, úpravy jsme provedli správně.
Význam parametrů \$m\$ a \$n\$ kvadratické funkce ve tvaru \$y=a*(x+m)^2+n\$
V následujícím skriptu Geogebry si můžete pohrát a parametry \$\mathbf{m}\$ a \$\mathbf{n}\$ kvadratické funce zapsané ve tvaru \$\mathbf{f: y=a*(x+m)^2+n, a=1}\$.
Změnou parametru \$m\$ se pohybuje funkce doleva a doprava.
Změnou parametru \$n\$ se funkce pohybuje nahoru a dolů.
Parametr \$a\$ bude zužovat anebo rozšiřovat parabolu. To si můžete v Geogebře udělat sami.
Legrace na závěr
Máme funkci \$f: y=abs{ax^2+bx+c}\$, můžete zkoumat.