Funkce absolutní hodnota

Připomeňme si pojem absolutní hodnota čísla.

Vypočítejte absolutní hodnoty těchto čísel: 5.1; -0.8; -7.2; 0.

\$abs{5.1}=5.1\$; \$abs{-0.8}=0.8\$; \$abs{-7.2}=7.2\$; \$abs{0}=0\$

Absolutní hodnota reálného čísla \$a\$ je číslo \$abs{a}\$, pro které platí:
je-li \$a \ge 0\$, je \$abs{a}=a\$,
je-li \$a < 0\$, je \$abs{a}=-a\$

Pro každé \$a \in R\$ je tedy \$abs{a} \ge 0\$; je-li \$a \ne 0\$, pak je \$abs{a} > 0; abs{0}=0\$.

Každému reálnému číslu je podle definice definice přiřazena jednoznačně jeho absolutní hodnota. Získáváme tak funkci na množině R danou předpisem
\$y=abs{x}\$, hovoříme o funkci absolutní hodnota.

Příklad 9.1

Sestrojte graf funkce \$y=abs{x}\$.

Řešení

Pro každé \$x \ge 0\$ je \$abs{x}=x\$, pro každé \$x < 0\$ je \$abs{x}=-x\$. K sestrojení grafu funkce \$y=abs{x}\$ můžeme použít známé grafy funckí \$y=x\$ (pro kladná čísla) a \$y=-x\$ pro záporná čísla.

Graf funkce \$y=abs{x}\$ (v Geogebře jsem to označil \$f(x)=abs{x}\$, což je to samé) se skládá z grafů těchto dvou funkcí:
\$y=x\$, \$\quad\quad\quad x \in (0, \infty)\$
\$y=-x\$, \$\quad x \in (-\infty, 0)\$

Oborem hodnot funkce \$y=abs{x}\$ je interval \$(0, \infty)\$

Funkce \$y=abs{x}\$ je rostoucí v intervalu \$(0, \infty)\$ a klesající v intervalu \$(-\infty, 0)\$

Poznámka: V GeoGebře se funkce absolutní hodnota zapisuje f(x)=abs(x)

Příklad 9.2

Z grafu funkce \$y=abs{x}\$ zjistěte všechna \$x \in R\$, pro která platí:

  1. \$abs{x}=2\$

  2. \$abs{x} \le 2\$

  3. \$abs{x} > 2\$

Řešení

1.

Z grafu je vidět, že funce \$y=abs{x}\$ má funkční hodnotu rovnou číslu 2 pro \$x_1=-2\$ a \$x_2=2\$. Můžeme hned říci, že funkce \$y=abs{x}\$ není prostá, protože vidíme stejnou funkční hodnotu y pro dvě různá x.

2.

Z grafu je vidět, že funkce \$y=abs{x} \le 2\$ v intervalu \$\langle -2, 2 \rangle\$.

3.

Z grafu je vidět, že funkce \$y=abs{x} > 2\$ v intervalech \$x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)\$.

Úlohy k domácímu počítání (domácí úkol č. 17)

Úloha 9.3

  1. Pro která z čísel \$a=3; -1.5; -13.4; 2.7\$ platí \$abs{a}=-a\$? \$\mathbf{-1.5}\$, \$\mathbf{-13.4}\$

  2. Pro která reálná čísla \$x\$ je \$-x\$ kladné číslo? Pro všechna \$\mathbf{x<0}\$.

Úloha 9.4

Vypočítejte:

  1. \$abs{-sqrt{2}}-abs{sqrt{2}}\$ \$\mathbf{=0}\$

  2. \$abs{8-11}-abs{3-9}\$ \$\mathbf{=-3}\$

  3. \$abs{-3.5-(-0.8)}\$ \$\mathbf{=2.7}\$

  4. \$14-abs{4.6-5.3}\$ \$\mathbf{=13.3}\$

  5. \$abs{-2-abs{5-7}}\$ \$\mathbf{=4}\$

  6. \$abs{-abs{2-5}+abs{1}-7}\$ \$\mathbf{=9}\$

Úloha 9.5

S využitím grafu funkce \$y=abs{x}\$ řešte v oboru reálných čísel tyto rovnice a nerovnice:

  1. \$abs{x}=1.5\$ \$\mathbf{x_1=-1.5}\$ a \$\mathbf{x_2=1.5}\$

  2. \$abs{x} \ge 1.5\$ \$\mathbf{x \in (-\infty, -1.5) \cup (1.5, \infty)}\$

  3. \$abs{x} < 1.5\$ \$\mathbf{x \in (-1.5, 1.5)}\$

Úloha 9.6

Zdůvodněte tato tvrzení:

  1. Kořeny rovnice \$abs{x}=1.5\$ s neznámou \$x \in R\$ jsou všechna taková čísla, jejichž obrazy na ose \$x\$ mají od obrazu čísla 0 vzdálenost rovnu \$1.5\$.

  2. Řešením nerovnice \$abs{x} \ge 1.5\$ s neznámou \$x \in R\$ jsou všechna ta čísla, jejichž obrazy na ose \$x\$ mají od obrazu čísla 0 vzdálenost větší nebo rovnou \$1.5\$.

  3. Řešením nerovnice \$abs{x} < 1.5\$ s neznámou \$x \in R\$ jsou všechna ta čísla, jejichž obrazy na ose \$x\$ leží ve vzdálenosti menší než \$1.5\$ od obrazu čísla 0.

Úloha 9.7

  1. S využitím grafu funkce \$y=abs{x}\$ řešte tyto rovnice v \$R\$: \$abs{x}=-3\$, \$abs{x}=-1.4\$ a \$abs{x}=-sqrt{3}\$
    Ve všech případech je množina řešení prázdná (tj. řešení neexistuje). Zde je řešení v Geogebře domaci_ukol_17_9.7.ggb.

  2. Zdůvodněte platnost tohoto tvrzení: Pro každé \$k<0\$ je množina všech kořenů rovnice \$abs{x}=k\$ s neznámou \$x \in R\$ prázdná.
    Obor hodnot funkce \$\mathbf{abs{x}}\$ je \$\mathbf{x\in\langle 0, \infty)}\$, \$\mathbf{k<0}\$, žádné záporné číslo není v oboru hodnot funkce, proto množina všech řešení je prázdná.

Funkce s absolutními hodnotami

Příklad 9.8

Dokažte, že definičním oborem funkce \$f: y=sqrt{2x-abs{x}}\$ je interval \$\langle 0, \infty)\$.

Řešení

Graf funkce nám GeoGebra nakreslila takto:

Důkaz: Pro \$x \ge 0\$ je \$abs{x}=x\$ a tedy \$2x-abs{x}=2x-x=x\$. Pro každé nezáporné číslo je definována druhá odmocnina, a proto všechna \$x \ge 0\$ patří do definičního oboru funkce \$f\$.

Je-li \$x < 0\$, potom \$abs{x}=-x\$ a výraz \$2x-abs{x}=2x-(-x)=3x\$, což je záporné číslo. Druhá odmocnina ze záporného čísla není definována, a tedy žádné \$x<0\$ nepatří do definičního oboru funkce \$f\$.

Závěr: Definičním oborem funkce \$f: y=sqrt{2x-abs{x}}\$ je skutečně interval \$\langle 0, \infty )\$.