Obor hodnot funkce
Vratmě se k k obrázku 1.4 grafu funkce z předchozí lekce.
Zapište výčtem množinu všech funkčních hodnot, kterých funkce \$h\$ nabývá.
Pro každé \$x \in R\$ je \$h(x)\$ jedno z čísel \$-1, 0, 1\$, to znamená že hledaná množina je \${-1, 0, 1}\$.
Tuto množinu nazveme obor hodnot funkce \$h\$. Je to tedy množina všech takových \$y \in R\$, ke kterým existuje aspoň jedno \$x \in R\$ z definičního oboru funkce \$h\$, pro něž je \$y=h(x)\$.
Definice: Obor hodnot funkce \$f\$ je množina všech \$y \in R\$, ke kterým existuje apoň jedno \$x\$ z definičního oboru funkce \$f\$ tak, že \$y=f(x)\$.
Obory hodnot funkcí, stejně tak jako jejich definiční obory, budou stále v centru naší pozornosti. Proto pro ně kvůli stručnosti zápisu zavedeme následující symboly:
pro obor hodnot funkce \$f\$: \$H_f\$ nebo také \$H(f)\$
pro definiční obor funkce \$f\$: \$D_f\$ nebo také \$D(f)\$
Definiční obor a obor hodnot funkce \$h\$ kterou vidíte na grafu 1.4, můžeme zapsat takto:
\$D_h = R; H_h = {-1, 0, 1}\$
příklad 3.1
Na obrázku 3.1 je graf funkce \$s\$, který se skládá ze dvou úseček. (Plné kolečko znamená, že koncový bod patří do funkce. Prázdný čteveček znamená, že koncový bod do funkce nepatří. Neumím v InkScape namalovat jednoduše prázdné kolečko, tak bude prázdný čtvereček.)
-
Zapište pomocí sjednocení intervalů definiční obor funkce \$s\$.
-
Určete funkční hodnoty \$s(-3)\$, \$s(-2)\$, \$s(1.5)\$, \$s(5)\$.
-
Zapište pomocí sjednocení intervalů obor hodnot funkce \$s\$.
-
Určete všechna \$x \in D_s\$, pro která je \$s(x) = -1\$, \$s(x)=2\$, \$s(x)=3.5\$.
řešení
-
Definičním oborem funkce \$s\$ je množina všech \$x \in R\$, kterým je přiřazeno takové \$y \in R\$, že \$y=s(x)\$. Tuto množinu můžeme z grafu určit tak, že sestrojíme kolmé průměty všech bodů, které patří do grafu funkce \$s\$, do osy x. Definiční obor je na obrázku zelený.
Obrázek 3.1a: graf funkce s(x) s definičním oborem
\$D_s = \langle -3, -1\rangle \cup (1, 5\rangle\$
-
\$s(-3) = -2\$; \$s(-2)=-1.5\$; \$s(1.5)=4.5\$; \$s(5)=1\$
Obrázek 3.1b: graf funkce s(x) odečítání funkčních hodnot z x
-
Obor hodnot funkce \$s\$ je množina všech \$y \in R\$, ke kterým existuje aspoň jedno \$x \in D_s\$ takové, že \$y=s(x)\$. Požadovanou množinu získáme tím způsobem, že sestrojíme kolmé průměty všech bodů, které patří do grafu funkce \$s\$, do osy \$y\$. Na obrázku je obor hodnot červený.
Obrázek 3.1: graf funkce s(x) s oborem hodnot
-
\$s(x)=-1\$ → \$x=-1\$
\$s(x)=2\$ → \$x=4\$
\$s(x)=3.5\$ → \$x=2.5\$
Obrázek 3.1: graf funkce s(x) odečítání x z s(x)
příklad 3.2
Uvažujme funkci \$k\$, která je daná vzorcem (předpisem) \$y=frac{1}{x^2-3x+2}\$ a jejímž definičním oborem je množina všech takových \$x \in R\$, pro které má výraz \$frac{1}{x^2-3x+2}\$ smysl.
-
Zapište definiční obor funkce \$k\$ pomocí sjednocení intervalů.
-
Rozhodněte, zda číslo 5 patří do oboru hodnot funkce \$k\$.
řešení
-
Definičním oborem funkce \$k\$ je množina všech reálných čísel \$x\$, pro která má výraz \$frac{1}{x^2-3x+2}\$ smysl, tj. pro která je \$x^2-3x+2 \ne 0\$
Můžeme to řešit dvěma způsoby:
-
Kvadratický trojčlen \$x^2-3x+2\$ rozložíme na součin lineárních dvojčlenů:
\$x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)\$
Přitom \$(x-1)*(x-2) \ne 0\$, právě tehdy, když \$x \ne 1\$ a \$x \ne 2\$. Odtud plyne, že definiční obor funkce je:
\$D_k = (-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2, +\infty)\$
-
Neumíme rozložit kvadratický trojčlen na součin lineárních dvojčlenů, ale umíme vyřešit kvadratickou rovnici \$x^2-3x+2=0\$. Úlohu obrátíme, vyřešíme kvadratickou rovnici a potom definiční obor funkce \$D_k\$ bude množina reálných čísel bez námi vypočtených kořenů rovnice.
Jdeme na to: diskriminant \$D=(-3)^2-4*1*2=9-8=1\$, rovnice bude mít dva kořeny:
\$x_1=frac{3+sqrt{1}}{2}=2\$ a \$x_2=frac{3-sqrt{1}}{2}=1\$
Definiční obor funkce \$D_k = (-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2, +\infty)\$.
-
-
Úkolem je rozhodnout, zda existuje takové \$x \in D_k\$, pro něž platí \$5=k(x)\$, tj. \$5=frac{1}{x^2-3x+2}\$.
Přecházíme k úkolu zjistit, zda naše rovnice má v množině \$D_k\$ neprázdnou množinu kořenů (česky má řešení):
\$x^2-3x+2=frac{1}{5}\$
\$x^2-3x-1.8=0\$
Diskriminant rovnice: \$D=3^2-4*1.8=9-7.2=1.8\$; budeme mít dva kořeny:
\$x_1=frac{3+sqrt{1.8}}{2}\$ a \$x_2=frac{3-sqrt{1.8}}{2}\$
Kořeny rovnice \$x_1 \approx 2.17\$ a \$x_2 \approx 0.829\$ jsou v množině \$D_k\$ a proto číslo \$5 \in H_k\$.
Naši funkci můžeme zapsat takto:
\$k: y=frac{1}{x^2-3x+2}, x \in (-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2, +\infty)\$
Domluva na zestručnění zápisu funkcí. Pokud bude definiční obor funkce \$y=f(x)\$ roven množině všech takových reálných čísel \$x\$, pro která má výraz \$f(x)\$ smysl, budeme část zápisu funkce \$f\$ udávající její definiční obor vynechávat.
Funkce \$k\$ je tohoto typu, a proto ji lze stručne zapsat takto:
\$k: y=frac{1}{x^2-3x+2}\$
Jak z obrázku určit, zda je to funkce?
Graf funkce jsme charakterizovali jako jistou množinu bodů v soustavě souřadnic \$Oxy\$ v rovině. Vzniká otázka: Je každá množina bodu v soustavě \$Oxy\$ grafem nějaké funkce?
Kdyby byla tato množina bodů grafem nějaké funkce \$y=f(x)\$, šlo by o funkci na množině \$A = \langle -5, 5\rangle\$. Každému \$x \in A\$ by pak muselo být přiřazeno právě jedno reálné číslo. To však pro náš příklad neplatí, neboť např. číslu 3 jsou přiřazena dvě různá čísla y: 4 a -4. Uvedená množina není proto grafem žádné funkce.
Jak jednoduše poznat, zda je nějaká množina bodů v soustavě souřadnic \$Oxy\$ je či není grafem funkce? Co je charakteristické pro graf funkce?
Protne-li každá přímka rovnoběžná s osou \$y\$ danou množinu bodů nejvýše v jednom bodě, pak je tato množina grafem funkce.
Existuje-li mezi přímkami rovnoběžnými s osou \$y\$ taková, která protne danou množinu aspoň ve dvou různých bodech, pak jde o množinu, která není grafem žádné funkce \$y=f(x)\$.
Domácí úkol č. 12
Určete a zdůvodněte, zda dané obrázky představují graf funkce.
Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv.