Graf funkce
Na obrázku jsou grafy (zelený a modrý), zachycující naměřenou rychlost toku dat přes síťovou kartu páteřního směrovače v síti. Rychlost je odečítána každou minutu. Obrázek představuje vlastně dva grafy v jednom zobrazení, zelená křivka representuje rychlost toku dat jedním směrem a modrá křivka rychlost toku dat opačným směrem. Stupnice na vodorovné ose jsou hodiny dne a stupnice na svislé ose je rychlost toku v megabitech za sekundu.
Obrázek graficky znázorňuje závislost rychlosti toku dat v čase. Pokud sledujeme pouze závislosti číselných hodnot příslušných veličin, jedná se jednoznačně o přiřazování čísel číslům. Pak můžeme obrázek chápat jako grafické vyjádření jisté funkce na množině \$\langle 0, 1440 \rangle\$, čili jako graf funkce s definičním oborem \$\langle 0, 1440 \rangle\$
Graf funkce \$f\$ ve zvolené soustavě souřadnic \$Oxy\$ v rovině je množina všech bodů \$X\[x,f(x)]\$, kde \$x\$ patří do definičního oboru funkce \$f\$.
Na obrázku 1.4 je uveden graf funkce \$h\$, jejíž definičním oborem je množina \$R\$. (Přesněji řečeno, na obrázku je jenom část grafu, neboť naše nákresna je omezená). Prázdná kolečka v obrázku označují, že příslušné body do grafu funkce \$h\$ nepatří, plné kolečko vyznačuje, že odpovídající bod do grafu funkce \$h\$ patří.
Určete hodnoty funkce \$h\$ v bodech -3; -2.4; -1; 0; 0.8; 2; 3.5. Zkuste vymyslet předpis, který popisuje tuto funkci.
Příklady
příklad 2.1
Má-li umělá družice koužit kolem Země a neklesat, musí dosáhnout jisté minimální rychlosti (1. kosmické rychlosti). V následující tabulce jsou uvedeny některé dvojice zachycující závislost číselné hodnoty rychlosti \$v \[km*s^-1]\$ na číselné hodnotě vzdálenosti \$h \[km]\$ družice od Země:
\$h \[km]\$ |
50 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
\$v \[km*s^-1\$] |
7.6 |
7.4 |
6.9 |
6.5 |
6.2 |
5.9 |
5.7 |
5.4 |
Znázorněte v pravoúhlé soustavě souřadnic všechny uspořádané dvojice čísel uvedené v tabulce.
Zkusíme zjistit jaká to je funkce?
Nevypadá to na lineární funkci, přímka se nedotýká všech bodů. Jaká je to funkce, resp. jaký je její matematický předpis, zatím nevíme. Kdo by chtěl vědět, jak vypadá předpis této funkce, tak se může podívat na Wikipedii, heslo Kosmická rychlost.
Kdo by si myslel, že ta funkce je k ničemu, tak ho upozorňuji, že tato funkce určuje např. výšku geostacionární dráhy, na které létají družice systému GPS nebo GLONAS. Tyto systémy mohou za to, že váš mobil poměrně přesně určuje vaši polohu na Zemi.
Poznámka: Program GeoGebra označuje body v kulatých závorkách. My budeme obvykle používat hranaté závorky. Kulaté závorky by se nám mohly plést s intervaly.
příklad 2.2
-
Které z bodů \$A_1\[1,0]\$, \$A_2\[0,1]\$, \$A_3\[2,3\$] patří do grafu funkce na obrázku 2.2.
-
Vypište všechny body, které patří do grafu funkce.
příklad 2.3
Jsou dány funkce:
a) funkce \$y=4*x\$, \$x \in (0, \infty)\$
b) funkce \$y=sqrt{3}*x\$, \$x \in (0, \infty)\$
c) funkce \$y=6*x^2\$, \$x \in (0, \infty)\$
d) funkce \$y=x^3\$, \$x \in (0, \infty)\$
Přiřaďte každé z těchto funkcí jeden z grafů, které jsou na následujících obrázcích.
a) |
b) |
c) |
d) |
Domácí úkol číslo 11.
-
Vypočtěte funkční hodnoty funkce a) \$y=4*x\$ z příkladu 2.3 v bodech \$x \in {1, 2, 2.2, 2.4, 3, 12.5}\$, výsledky zapište do tabulky. Funkční hodnoty zaokrouhlete na 2 desetinná místa.
-
Vypočtěte funkční hodnoty funkce b) \$y=sqrt{3}*x\$ z příkladu 2.3 v bodech \$x \in {1, 2, 2.2, 2.4, 3, 12.5}\$, výsledky zapište do tabulky. Funkční hodnoty zaokrouhlete na 2 desetinná místa.
-
Vypočtěte funkční hodnoty funkce c) \$y=6*x^2\$ z příkladu 2.3 v bodech \$x \in {1, 2, 2.2, 2.4, 3, 12.5}\$, výsledky zapište do tabulky. Funkční hodnoty zaokrouhlete na 2 desetinná místa.
-
Vypočtěte funkční hodnoty funkce d) \$y=x^3\$ z příkladu 2.3 v bodech \$x \in {1, 2, 2.2, 2.4, 3, 12.5}\$, výsledky zapište do tabulky. Funkční hodnoty zaokrouhlete na 2 desetinná místa.
-
Nakreslete graf funkce \$y=5*x+1\$ v rozsahu \$x \in (0, 5)\$. Nečmárejte to rukou, ale pěkně pravítkem. Doporučuji čtverečkovaný sešit (nebo čtverčkovaný papír).
Kdo nechce dělat pravítkem, tak si může na domácí počítač nainstalovat program GeoGebra, trochu se s ním naučit a poslat mi graf emailem na adresu chraska.jiri@sspvc.cz jako přílohu. GeoGebra má příponu souborů .ggb.
Úkol je na příští hodinu (13.2.2023), kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv.
Matematický podfuk.
Tento podfuk rádi dělají psychologové.
Máme posloupnost: \$1, 2, 3, 4, 5, ...\$
Určete šestý člen posloupnosti. Psychologové očekávají odpověď 6 a podle toho určují třeba inteligenci člověka.
Odpověď: Šestý člen posloupnosti je třeba \$a_6=2023\$
Vzorec posloupnosti: \$a_n=n+2017*frac{(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)*(n-5)}{5!}\$
Co to je \$5!\$ ? Je to 5 faktoriál. Toto: \$5! = 1*2*3*4*5\$
Test správnosti:
\$a_1=1+2017*frac{(1-1)*(1-2)*(1-3)*(1-4)*(1-5)}{5!}=1+2017*frac{(0)*(-1)*(-2)*(-3)*(-4)}{1*2*3*4*5}=1\$
\$a_2=2+2017*frac{(2-1)*(2-2)*(2-3)*(2-4)*(2-5)}{5!}=2+2017*frac{(1)*(0)*(-1)*(-2)*(-3)}{1*2*3*4*5}=2\$
\$a_3=3+2017*frac{(3-1)*(3-2)*(3-3)*(3-4)*(3-5)}{5!}=3+2017*frac{(2)*(1)*(0)*(-1)*(-2)}{1*2*3*4*5}=3\$
\$a_4=4+2017*frac{(4-1)*(4-2)*(4-3)*(4-4)*(4-5)}{5!}=4+2017*frac{(3)*(2)*(1)*(0)*(-1)}{1*2*3*4*5}=4\$
\$a_5=5+2017*frac{(5-1)*(5-2)*(5-3)*(5-4)*(5-5)}{5!}=5+2017*frac{(4)*(3)*(2)*(1)*(0)}{1*2*3*4*5}=5\$
\$a_6=6+2017*frac{(6-1)*(6-2)*(6-3)*(6-4)*(6-5)}{5!}=6+2017*frac{(5)*(4)*(3)*(2)*(1)}{1*2*3*4*5}=6+2017*1=2023\$
\$a_7=7+2017*frac{(7-1)*(7-2)*(7-3)*(7-4)*(7-5)}{5!}=7+2017*frac{(6)*(5)*(4)*(3)*(2)}{1*2*3*4*5}=7+2017*6=12109\$
Závěr: Posloupnost není definována výčtem několika členů, ale vzorcem.