Příklad 13.1
Uvažujme kvadratickou funkci
\$\mathbf{g: y=x^2}\$
Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech \$-4\$; \$-3\$; \$-2\$; \$-1\$; \$-0.5\$; \$0\$; \$0.5\$; \$1\$; \$2\$; \$3\$; \$4\$. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadnic \$0xy\$.
| \$x\$ | -4 | -3 | -2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\$x^2\$ |
16 |
9 |
4 |
1 |
0.25 |
0 |
0.25 |
1 |
4 |
9 |
16 |
Obrazy uspořádaných dvojic z tabulky jsou na následujícím obrázku
Grafem kvadratické funkce \$\mathbf{y=x^2}\$ je plynulá nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola.
Z obrázku se dá usoudit, že funkce \$\mathbf{y=x^2}\$ má tyto vlastnosti:
jejím oborem hodnot je interval \$(0, \infty)\$,
funkce je v intervalu \$(-\infty, 0)\$ klesající,
fuknce je v intervalu \$(0, \infty)\$ rosoucí;
v bodě 0 má minimum,
nemá v žádném bodě maximum;
je zdola omezená a není shora omezená;
je sudá.
Kdo má zájem, může sám dokázat, že funkce \$y=x^2\$ má všechny tyto vlastnosti.
Příklad 13.2
Načrtněte si graf funkce \$g: y=x^2\$ a potom v téže soustavě souřadnic zakreslete graf funkce \$g_1: y=frac{1}{3}x^2\$. Využijte toho, pro každé \$x \in R\$ je \$g_1(x)=frac{1}{3}*g(x)\$.
Řešte analogický úkol pro funkce \$y=2x^2\$; \$y=0.5x^2\$; \$y=-x^2\$; \$y=-frac{1}{4}x^2\$.
Každou z těchto křivek, která je grafem funkce \$\mathbf{y=a*x^2}\$, kde \$a \in R - {0}\$, nazýváme opět parabola.
Grafy kvadratických funkcí \$y=ax^2\$ už tedy umíme sestrojovat. Ale jak sestrojit graf kvadratické funkce \$y=frac{3}{4}x^2+frac{3}{2}x-frac{9}{4}\$? K tomu nás dovedou postupně následující čtyři příklady.
Příklad 13.3
Na následujícm obrázku je graf funkce \$h_1: y=frac{3}{4}x^2\$. Sestrojte pomocí něho graf funkce \$h_2: y=frac{3}{4}x^2-3\$.
Řešení
Pro každé \$x \in R\$ je \$h_2(x)=h_1(x)-3\$; např. pro \$x=-2\$ je \$h_1(-2)=frac{3}{4}(-2)^2=3\$, \$h_2(-2)=frac{3}{4}(-2)^2-3=3-3=0\$ viz další obrázek.
Ke grafu funkce \$h_2\$ dospějeme tedy od grafu funkce \$h_2\$ posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy y. Viz další obrázek.
Interaktivně to je vidět nejlépe:
Příklad 13.4
Sestrojte graf funkce \$h_3: y=frac{3}{4}*(x+1)^2\$, a to opět využitím frafu funkce \$h_1: y=frac{3}{4}x^2\$
Řešení
Pro každé \$x \in R\$ platí \$h_3(x-1)=h_1(x)\$; např. pro \$x=3\$ je \$h_1(x)=h_1(3)=frac{3}{4}*3^2=frac{27}{4}\$, \$h_3(x-1)=h_3(2)=frac{3}{4}(2+1)^2=frac{27}{4}\$ (viz další obrázek).
Jestliže funkce \$h_1\$ nabývá nějakou hodnotu v bodě \$x\$, nabývá tutéž hodnotu funkce \$h_3\$ v bodě \$x-1\$.
Graf funkce \$h_3\$ získáme z grafu funkce \$h_1\$ posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy \$x\$.
Příklad 13.5
Sestrojte graf funkce \$h_4: y=frac{3}{4}*(x+1)^2-3\$ pomocí grafu funkce \$h_1: y=frac{3}{4}x^2\$.
Řešení
Nejprve sestrojíme graf funkce \$h_3: y=frac{3}{4}*(x+1)^2\$ (viz předchozí příklad) a potom tento graf posuneme o tři jednotky ve směru záporné poloosy \$y\$.
Graf funkce \$h_4\$ získáme tedy z grafu funkce \$h_1\$ posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy \$x\$ a o tři jednotky ve směru záporné poloosy \$y\$.
Příklad 13.6
Sestrojte graf funkce \$h_5: y=frac{3}{4}x^2+frac{3}{2}x-frac{9}{4}\$.
Řešení
Nejdříve upravíme výraz \$frac{3}{4}x^2+frac{3}{2}x-frac{9}{4}\$ dopněním na druhou mocninu dvojčlenu:
\$frac{3}{4}*x^2+frac{3}{2}*x-frac{9}{4}=(frac{3}{4}*x^2+frac{3}{2}*x)-frac{9}{4}=frac{3}{4}*(x^2+2x)-frac{9}{4}=\$
\$=frac{3}{4}*(x^2+2x+1)-frac{3}{4}-frac{9}{4}=\mathbf{frac{3}{4}*(x+1)^2-3}\$.
Jde o funkci \$h_4\$; její graf už máme na obrázku výše.
Postup při sestrojování grafů funkce \$y=ax^2+bx+c\$
Jak budeme postupovat?
1. Nejprve upravíme výraz \$ax^2+bx+c\$ doplněním na druhou mocninu dvojčlenu (doplněním na čtverec):
\$ax^2+bx+c=a(x+frac{b}{2a})^2+(c-frac{b^2}{4a})\$
2. Sestrojíme graf funkce
\$f_1: y=ax^2\$.
3. Sestrojíme graf funkce
\$f_2: y=a*(x+frac{b}{2a})^2+(c-frac{b^2}{4a})\$,
a to z grafu funkce \$f_1\$ pomocí posunutí o \$\mathbf{frac{b}{2a}}\$ jednotek ve směru osy \$\mathbf{x}\$, přičemž:
-
pro \$frac{b}{2a}>0\$ jde o posunutí ve směru záporné poloosy \$x\$,
-
pro \$frac{b}{2a}<0\$ jde o posunutí ve směru kladné poloosy \$x\$,
-
pro \$frac{b}{2a}=0\$ jde o posunutí o 0 jednotek na ose \$x\$ (tj. o "nulové posunutí" ve směru osy x),
a o \$\mathbf{c-frac{b^2}{4a}}\$ jednotek ve směru osy \$\mathbf{y}\$, přičemž:
-
pro \$c-frac{b^2}{4a}>0\$ jde o posunutí ve směru kladné poloosy \$y\$,
-
pro \$c-frac{b^2}{4a}<0\$ jde o posunutí ve směru záporné poloosy \$y\$,
-
pro \$c-frac{b^2}{4a}=0\$ jde o posunutí o 0 jednotek na ose \$y\$ (tj. o "nulové posunutí" ve směru osy y).
Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou \$y\$.
Přehled vlastností kvadratických funkcí
Na závěr uvádíme přehledně vlastnosti kvadratických funkcí \$y=ax^2+bx+c\$ v závislosti na hodnotách \$a\$, kde \$a \ne 0\$.
| \$\mathbf{a>0}\$ | \$\mathbf{a<0}\$ |
|---|---|
|
|
Oborem hodnot je \$\langle c-frac{b^2}{4a}, \infty)\$ |
Oborem hodnot je \$(-\infty, c-frac{b^2}{4a} \rangle\$ |
Je rostoucí v \$\langle -frac{b}{2a}, \infty)\$ |
Je rostoucí v \$(-\infty, -frac{b}{2a} \rangle\$ |
Je klesající v \$(-\infty, -frac{b}{2a} \rangle\$ |
Je klesající v \$\langle -frac{b}{2a}, \infty )\$ |
Je zdola omezená, není shora omezená. |
Je shora omezená, není zdola omezená. |
V bodě \$x=-frac{b}{2a}\$ má minimum. |
V bodě \$x=-frac{b}{2a}\$ má maximum. |
Domácí úkol číslo 20
-
Načrtněte graf funkce \$y=1.5*x^2\$. Můžete ho nějak využít k sestrojení grafu funkce \$y=-1.5*x^2\$?
Jaká je vzájemná poloha grafů funkcí \$y=ax^2\$, \$y=-ax^2\$, při daném \$a \ne 0\$? -
Načrtněte v téže soustavě souřadnic \$0xy\$ grafy těchto funkcí:
-
\$y=x^2+c\$ pro \$c=0; c=3; c=2; c=-0.5\$
-
\$y=(x-k)^2\$ pro \$k=0; k=1; k=2.5; k=-2; k=-1.5\$
-
\$y=(x-k)^2+m\$ pro \$k=1, m=2\$; \$k=1,m=-2\$; \$k=1, m=1.5\$
-
\$y=(x-k)^2+m\$ pro \$k=-2, m=2\$; \$k=-1, m=2\$; \$k=0.5, m=2\$
-
-
Načrtněte grafy těchto funkcí:
-
\$y=x^2-2x+3\$
-
\$y=-x^2-6x-8\$
-
\$y=2x^2+5x-1\$
-
\$y=-0.5x^2+x+2\$
Z grafů pak popište vlastnosti těchto funkcí. (Kde je klesající, kde je rostoucí, jak je omezená, kde má minimum resp. maximum.)
-
-
Dokažte, že hodnota funkce \$y=x^2-4x+5\$ je v každém bodě kladné číslo. Načrtněte její graf a popište její vlastnosti.
Nápověda: Důkaz můžete začít tak, že ukážete že rovnice \$x^2-4x+5=0\$ nemá řešení v oboru reálných čísel, to znamená že graf funkce neprotíná osu \$x\$, dále uvažujte sami.
| Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv.* |