Sudá a lichá funkce

Příklad 10.1

Sestrojte graf funkce \$g: y=-abs{x}\$. Vyznačte na obrázku funkční hodnoty \$g(-1)\$ a \$g(1)\$, \$g(-2.5)\$ a \$g(2.5)\$, \$g(4)\$ a \$g(-4)\$.

Vidíme, že pro každé číslo \$u \in D_g\$ je \$g(u)=g(-u)\$

Funkce \$g: y=-abs{x}\$ je příkladem sudé funkce.

Definice: Funkce \$\mathbf f\$ se nazývá sudá, právě tehdy když zároveň platí:

  1. Pro každé \$x \in D_f\$ je také \$-x \in D_f\$.

  2. Pro každé \$x \in D_f\$ je \$f(-x)=f(x)\$.

Všimněte si, že bod \$A\[x,(fx)]\$ je souměrně sdružený podle osy \$y\$ s bodem \$A'\[-x,f(x)]\$. Podobně je to s body \$B\$ a stem[B'], \$C\$ a \$C'\$.
Z toho plyne, že graf sudé funkce je souměrně sdružený podle osy \$y\$.

Příklady grafů sudých funkcí

Příklad 10.2

Sestrojte graf funkce \$h: y=2x\$. Vyznačte na obrázku funkční hodnoty \$h(1)\$ a \$h(-1)\$, \$h(2.4)\$ a \$h(-2.4)\$, \$h(3)\$ a \$h(-3)\$.

Pro každé \$v \in D_h\$ je \$h(-v)=-h(v)\$. Funkce \$h: y=2x\$ je příkladem liché funkce.

Definice: Funkce \$\mathbf f\$ se nazývá lichá, právě tehdy když zároveň platí:

  1. Pro každé \$x \in D_f\$ je také \$-x \in D_f\$.

  2. Pro každé \$x \in D_f\$ je \$f(-x)=-f(x)\$.

Připomeňme si, že bodem souměrně sdruženým podle počátku soustavy souřadnic k bodu \$A\[x,f(x)]\$ je bod \$A'\[-x, -f(x)]\$.
Z toho plyne, že graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic \$0xy\$.

Příklady grafů lichých funkcí

Příklady k počítání

Příklad 10.3

Zjistěte, které z daných funkcí jsou sudé a které jsou liché.

  1. \$f: y=2x; x \in (-4, 5\rangle\$

  2. \$g: y=2-x\$

  3. \$h: y=frac{1}{x^3}\$

  4. \$i: y=frac{x^2}{x^2+4}\$

Řešení

  1. Pro funkci \$f\$ není splněna podmínka "je-li \$x\$ prvkem definičního oboru funkce, pak je jeho prvkem také \$-x\$". Např. \$5 \in D_f\$ a \$-5 \notin D_f\$. Proto není funkce \$f\$ ani sudou ani lichou funkcí.

  2. Definiční obor funkce \$g\$ jsou všechna reálná čísla; jestliže je \$x \in D_g\$, pak je i \$-x \in D_g\$.
    Funkce \$g\$ přesto není sudá ani lichá, neboť např. pro \$x=1\$ je \$g(1)=1\$ a \$g(-1)=3\$, a tedy \$g(1) \ne g(-1)\$ a také \$g(-1) \ne -g(1)\$.

  3. Definiční obor funkce \$h\$ je \$R - {0}\$; pro každé reálné číslo \$x\$ tedy platí: Je-li \$x \in D_h\$, potom též \$-x \in D_h\$. Dále je
    \$h(x)=frac{1}{-x^3}=-frac{1}{x^3}=-h(x)\$.
    Funkce je lichá.

  4. \$D_i=R, i(-x)=frac{(-x)^2}{(-x)^2+4}=frac{x^2}{x^2+4}=i(x)\$. Funkce \$i\$ je sudá.

Domácí úkol č. 18

1. Které z funkcí na následujícím grafu jsou sudé anebo liché funkce? Zdůvodněte svoje tvrzení.

2. Které lineární funkce jsou liché? Které lineární funkce jsou sudé?

3. Existuje funkce, která je lichá a sudá zároveň?

4.a Na následujícím obrázku je sestrojena část grafu sudé funkce, jejíž definiční obor je množina \$D=\langle -4, 0) \cup (0, 4\rangle\$. Doplňte do grafu chybějící část. (Je to poněkud těžší úkol.)

4.b Analogický úkol řešte pro případ, že na tom samém obrázku je sestrojena část grafu liché funkce, jejíž definiční obor je množina \$D=\langle -4, 0) \cup (0, 4\rangle\$.

Nápověda: Na grafu jsou části kružnic.

Pokud budete geogebrovat, tak si nejprve zkuste nakreslit v geometrickém modulu \$y^2+x^2=4\$ (v grafech to nejde, protože to není funkce). Potom si udělejte \$f(x)=sqrt{4-x^2}\$ \$g(x)=-sqrt{4-x^2}\$ a potom zkuste funkci \$f(x)\$ omezit definičním oborem. \$f(x)=sqrt(4-x^2),\quad x\in(0, 2)\$. Odmocnina se v GeoGebře píše jako sqrt(argument), třeba sqrt(4-x^2). Můžete experimentovat, a jako argument použít 4-(x+4)^2, vnikne funkce b(x)=sqrt(4-(x+4)^2). Potom si můžete hrát se znaménkem před odmocninou např. c(x)=-sqrt(4-(x-4)^2). Při omezování funkce definičním oborem Geogebra používá konstrukci Kdyz(podmínka, kresli_něco) nebo Kdyz(podmínka, kresli_něco, jinak_dělej_něco_jiného). Občas ovšem zblbne a nenakreslí nic. Pomůže to, že kresli_něco, případně delej_něco_jiného, uzavřeme do kulatých závorek takto: Kdyz(podmínka, (kresli_něco)). Je to docela zábava.

5.a Zkuste doplnit následující obrázek tak, aby nám vznikl graf sudé funkce. To je docela jednoduché.

5.a Pro skutečné matematiky (profesionály): Zkuste doplnit následující obrázek tak, aby nám vznikl graf liché funkce.

Omezená funkce

V denním životě se často setkáváme s ukazateli, jejichž hodnoty jsou nějakým způsobem omezeny. Pro ilustraci uvedeme dva příklady.

Rychlost automobilů při průjezdu obcemi je shora omezená. Obvykle nesmí být vyšší než 50 km/s.

Graf toku dat ethernetovým rozhraním je omezen maximálním hodnotou 1000 MBit/s, je to dané tím, že ethernetová karta není schopná přenést více dat. Dále je omezen minimální hodnotou 0 Mbit/s, protože odchozí pakety (zelená křivka) nemohou téci obráceným směrem, to by se z nich staly příchozí pakety (modrá křivka). Dále z grafu můžeme vyčíst, že maximální rychlost toku dat za 1.4.2023 byla 510.8 MBit/s a minimální okolo 40 MBit/s (zelená křivka). Vidíme, že tato funkce je shora i zdola omezená.

align-center

Dále objasníme, co to znamená, že funkce je omezená, shora omezená a zdola omezená.

Definice: Funkce \$f\$ se nazývá zdola omezená, právě tehdy, když existuje číslo \$d\$ takové, že pro všechna \$x \in D_f\$ je \$f(x) \ge d\$.
Funkce \$f\$ se nazývá zhora omezená, právě tehdy, když existuje číslo \$h\$ takové, že pro všechna \$x \in D_f\$ je \$f(x) \le h\$.
Funkce \$f\$ se nazývá omezená, právě tehdy, když je zdola omezená a zároveň shora omezená.

Příklad 10.4

Na výše uvedeném grafu je funkce \$a(x)=15-abs{2-x}-abs{2x-7}-3*abs{1+x}; x \in \langle -3; 5\rangle\$. Zjistěte z něho, zda je funkce \$a(x)\$ zdola omezená, shora omezená; omezená.

Pro každé \$x \in D_a\$, tj. pro každé \$x \in \langle-3;5\rangle\$ je \$a(x) \ge -9\$; za číslo \$d\$ z definice zdola omezené funkce lze vzít např. číslo \$-9\$ (ale také např. \$-50\$, \$-10^6\$, neboť pro všechna \$x \in D_a\$ je \$a(x)\ge -50\$, \$a(x)\ge -10^6\$) Funkce a je zdola omezená.

Pro každé \$x \in D_a\$ je \$m(x)\le 3\$; za číslo \$h\$ z definice zhora omezené funkce můžeme zvolit např. číslo \$3\$. Funkce \$a\$ je shora omezená.

Funkce \$a\$ je zdola omezená i shora omezená, je tedy omezená.

Maximum a minimum funkce

Podívejte se na graf funkce \$f(x)\$ na následujícm obrázku. Co všechno lze z něho vyčíst o funkci \$f(x)\$?

align-center

Poznámka: Kreslit tuto funkci v GeoGebře je nejlepší takto:
f(x) = Kdyz(-4 ≤ x < -3, 1, -3 ≤ x < -2, x + 4, -2 ≤ x < 0, -2 x - 2, 0 ≤ x < 2, 2x - 2, 2 ≤ x < 3, -x + 4, 3 ≤ x ≤ 4, 1)
Syntaxe je: Kdyz(interval_1, funkcni_zapis_1, interval_2, funkcni_zapis_2, ...)

Definiční obor funkce \$D_f=\langle -4, 4 \rangle\$, obor hodnot funkce \$H_f=\langle -2, 2 \rangle\$, funkce \$f(x)\$ je rostoucí v intervalech \$(-3, -2)\$ a \$(0,2)\$. Funkce je klesající v intervalech \$(-2,0)\$ a \$(2,3)\$. Funkce \$f(x)\$ je sudá a je omezená.

Všimněme si, že pro všechna \$x\$ z definičního oboru funkce \$f\$ je \$f(x) \le 2\$; přitom hodnoty 2 nabývá v bodech -2 a 2. Říkáme, že funkce \$f\$ má v bodech -2 a 2 maximum.

Dále je z obrázku vidět, že pro každé \$x \in D_f\$ je \$f(x) \ge -2\$; hodnoty -2 nabývá funkce \$f\$ v bodě 0. Říkáme, že funkce \$f\$ má v bodě 0 minimum.

Definice:
Říkáme, že funkce \$\mathbf{f}\$ má v bodě \$\mathbf{a}\$ maximum, právě když pro všechna \$x \in D_f\$ je \$\mathbf{f(x) \le f(a)}\$.
Říkáme, že funkce \$\mathbf{f}\$ má v bodě \$\mathbf{b}\$ minimum, právě když pro všechna \$x \in D_f\$ je \$\mathbf{f(x) \ge f(b)}\$.

Příklad 10.5

Má funkce \$\mathbf{p: y=3x}\$ v nějakém bodě maximum nebo minimum?

Předpokládejme, že funkce \$p\$ má v nějakém bodě maximum. Pak by muselo pro všechna \$x \in D_p\$, tj. pro všechna \$x \in R\$ platit

\$p(x) \le p(a)\$

čili

\$3x \le 3a\$

To ale neplatí: Zvolíme-li jakékoliv \$x_0 > a\$, pak je

\$3x_0 > 3a\$

neboli

\$p(x_0)>p(a)\$

Funkce \$p: y=3x\$ tedy nemá maximum v žádném bodě. (Použili jsme důkaz sporem.)

Obdobně jde ukázat, že tato funkce nemá v žádném bodě ani minimum.

Úlohy na počítání - domácí úkol č. 19

Úloha 19.1

Ve kterých bodech má funkce \$a(x)=15-abs{2-x}-abs{2x-7}-3*abs{1+x}; x \in \langle -3; 5\rangle\$ (viz příklad 10.4), maximum; minimum?

Řešení: Maximum v intervalu \$x \in \langle -1, 2\rangle\$, minimum v bodech \$x=-3\$ a \$x=5\$

Úloha 19.2

Ve kterých bodech má funkce \$y=-abs{x}\$ maximum; minimum?

Řešení: Funkce \$y=-abs{x}\$ má maximum pro \$x=0\$.

Úloha 19.3

Ve kterých bodech má funkce \$y=2\$ maximum, minimum?

Řešení: Všude, na celém definičním oboru má funkce maximum i minimum.

Těžsí úloha 19.4

Rozhodněte, zda platí věta: Je-li funkce omezená, pak má v nějakém bodě maximum a v nějakém bodě minimum.

Nápověda: Pokud najdete příklad, kde to neplatí, tak věta platit nebude.

Řešení: Věta neplatí. Například pro funkci \$y=x, x \in (0, 1)\$, která je omezená, ale nemá v bodě \$x=1\$ maximum, protože x=1 není v definičním oboru.

Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv.