Definice funkce

Na obrázku je znázorněna krychle o hraně délky a.

Napište vzorec, který vyjadřuje pomocí délky a

  1. obvod o stěny krychle

  2. délku v tělesové úhlopříčky

  3. povrch S krychle

  4. objem V krychle

Příklad 1

Model krychle

align-center

Vzorce:

  1. obvod stěny krychle: \$o=4*a\$

  2. délka u tělesové úhlopříčky (pomocí Pythagorovy věty): \$u=sqrt{abs{EB}^2+abs{EH}^2}=sqrt{2*a^2+a^2}=a*sqrt{3}\$

  3. povrch krychle: \$S=6*a^2\$

  4. objem krychle: \$V=a^3 \$

Tabulka ukazující závislost povrchu krychle na délce její hrany. Do posledních dvou sloupců jejího prvního řádku si napište další dvě kladná čísla dle vašeho výběru (záporná čísla ani 0 nepřichází v úvahu, protože se jedná o délku hrany). Potom doplňte druhý řádek tabulky.

Table 1. Závislost povrchu krychle na délce její hrany

a [\$cm\$]

0.5

2

1

5

\$2*sqrt{3}\$

20

S [\$cm^2\$]

Každému číslu v prvním řádku tabulky, udávajícímu číselnou hodnotu délky hrany krychle, je přiřazeno ve druhém řádku v témž sloupci právě jedno číslo, které udává číselnou hodnotu povrchu krychle. Pomocí vzorce \$S=6*a^2\$ jsou kladným číslům jednoznačně přiřazována kladná čísla.

Table 2. Závislost povrchu krychle na délce její hrany

a [\$cm\$]

0.5

2

1

5

\$2*sqrt{3}\$

20

156

28.5

S [\$cm^2\$]

1.5

24

6

150

72

2400

146016

4873.5

Příklad 2

Pokuste se popsat předpis, pomocí kterého jsou v níže uvedené tabulce přiřazena číslům z množiny \$M = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}\$ (první řádek) čísla z druhého řádku.

Table 3. Najděte závislost mezi prvním a druhým sloupcem

x

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

0

0

1

0

1

0

1

1

1

Každému prvočíslu z množiny M je přiřazeno číslo 0 a každému složenému číslu je přiřazeno číslo 1. Každému číslu z množiny M je tedy podle určitého předpisu přiřazeno právě jedno číslo.

Definice: Funkce na množině \$A \subset R\$ je předpis, který každému číslu z množiny \$A\$ přiřazuje právě jedno reálné číslo.

Množina \$A\$ se nazývá definiční obor funkce.

Poznámka k definici funkce:
Již z dřívějška znáte pojem zobrazení. Zobrazení množiny A do množiny B je předpis, který každému prvku a z množiny A jednoznačně přiřadí nějaký prvek b z množiny B.
Funkci, jak jsme ji zde definovali, lze tedy chápat jako speciální případ zobrazení: jde o případ kdy A je podmnožinou reálných čísel a B je množinou reálných čísel.
O funkci se obvykle hovoří i tehdy, když A je libovolná množina, tj. reálná čísla přiřazujeme i jiným prvkům než jsou reálná čísla. Například hovoříme o funkci, která 	každému trojúhelníku z dané roviny přiřazuje jeho obsah.
Dále se budeme věnovat jenom takovým předpisům, která přiřazují reálná čísla reálným číslům. Proto jsme se také v definici funkce omezili je na případ, kdy A je podmnožinou množiny reálných čísel R.

Zápis funkce

Jak napsat co nejstručněji funkci na množině \$A = \langle -2, 2 \rangle\$, která každému číslu \$x \in A\$ přiřazuje číslo y, které je dvojnásobkem x?

Zápis může mít takovýto tvar:

\$y=2*x\$, \$x \in \langle -2, 2 \rangle\$

Z tohoto zápisu je jasné, čemu je roven definiční obor funkce (podmnožina reálných čísel od čísla -2 do čísla 2 včetně) i to, které číslo \$y_0\$ je přiřazeno libovolně zvolenému číslu \$x_0\$ z množiny \$\langle -2, 2 \rangle\$.

Poznámka k zápisu intervalu:
Ostrá závorka se použije, pokud hraniční číslo patří do intervalu.
Kulatá závorka se použije, pokud hraniční číslo nepatří do intervalu.

Například číslu 1.5 je přiřazeno číslo 3. Číslo 3 nazýváme hodnotou funkce v bodě 1.5. Jak tento fakt zapsat co nejstručněji?

Označíme naši funkci nějakým písmenem, např. \$g\$ a předchozí zápis rozšíříme na tvar:

\$g:y=2*x, x \in \langle -2, 2 \rangle\$

(čteme "funkce g daná předpisem \$y=2x\$ kde \$x \in \langle -2, 2 \rangle\$")

Skutečnost, že hodnota funkce g v bodě 1.5 je 3, pak zapisujeme takto:

\$g(1.5)=3\$

Obecně: Budeme-li mít dánu funkci \$f\$, v níž číslu \$x_0\$ z jejího definičního oboru je přiřazeno číslo \$y_0\$, zapíšeme tento fakt \$f(x_0)=y_0\$.

Číslo \$f(x_0)\$ budeme nazývat hodnotou funkce \$f\$ v bodě \$x_0\$ nebo hodnota funkce \$f\$ přiřazená číslu \$x_0\$.

Místo termínu hodnota funkce se také používá termín funkční hodnota.

Z toho, co bylo právě řečeno, vyplývá přirozeně možnost dalšího způsobu zápisu funkce \$g\$:

\$g(x)=2x, x \in \langle -2, 2 \rangle\$

Ještě se vrátíme k tabulkám 2. a 3.

Tabulkou č.3 je dána jistá funkce na množině \$M={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}\$. Z tabulky vyčteme definiční obor funkce, kde pro každý prvek z množiny M \$x \in M\$ je udána odpovídající funkční hodnota.

Doplněná tabulka č.2 má jiný charakter: V ní jsou uvedeny pouze některé hodnoty proměnné \$a\$ a jim přiřazené hodnoty funkce

\$S=6a^2, a \in (0,+\infty)\$

Vzhledem k tomu, že definiční obor této funkce je nekonečná množina, nemůžeme v žádném případě tuto funkci vyjádřit tabulkou.

Domácí úkol č. 10

  1. Zapište funkce, které vyjadřují závislost

    1. obvodu kruhu na jeho poloměru,

    2. obsahu kruhu na jeho poloměru.

  2. Je dán kvádr se čtvercovou podstavou; délka jeho podstavné hrany je \$b\$, délka boční hrany je \$2b\$. Zapište funkce udávající závislost:

    1. součtu délek všech hran kvádru na \$b\$ (neboli kolik drátu bude potřeba na drátěný model),

    2. délky tělesové úhlopříčky \$v\$ na \$b\$ (použijte Pythagorovu větu jako u krychle),

    3. povrchu kvádru \$S\$ na \$b\$,

    4. objemu kvádru \$V\$ na \$b\$.

      Drátěný model kvádru

      align-center

  3. Vypočtěte hodnoty funkce \$y=2x^2-3x, x \in R\$ v bodech \$-4; 0.3; sqrt{7}; 12\$.

  4. Je dána funkce \$h: y=frac{5-x}{x+2}, x \in \langle -1, 5 \rangle\$. Vypočtěte funkční hodnoty \$h(-1)\$; \$h(0.6)\$; \$h(2)\$ a \$h(4.2)\$.

Úkol je na příští hodinu, kdo ho nepřinese, dostane kuli. Ostatní dostanou známku podle toho, jak dobře se jim podaří úkol udělat. Kdo chyběl na dnešní hodině a bude se vymlouvat, že chyběl, tak dostane kuli také. Každý může studovat matematiku třeba pomocí mobilního telefonu kdekoliv a kdykoliv.