1. Řešte rovnici \$10*x-2-frac{2}{x}=0\$
Vynásobíme obě strany rovnice výrazem x: \$x*(10*x-2-frac{2}{x})=0*x\$
\$10*x^2-2*x-2=0\$ a máme kvadratickou rovnici, kterou umíme řešit.
Koeficienty: \$a=10, b=-2, c=-2\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-2)^2-4*10*(-2)=4+80=84 \gt 0\$, budeme mít 2 reálné kořeny.
Kořeny:
\$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{-(-2)+sqrt{84}}{2*10}=frac{2+sqrt{4*21}}{2*10}=frac{1+sqrt{21}}{10}=0.1(1+sqrt{21}) \approx 0.56\$
\$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}=frac{-(-2)-sqrt{84}}{2*10}=frac{2-sqrt{4*21}}{2*10}=frac{1-sqrt{21}}{10}=0.1(1-sqrt{21}) \approx 0.36\$
Zkouška:
Pro kořen \$x_1=frac{1+sqrt{21}}{10}\$:
\$L_1=10*(frac{1+sqrt{21}}{10})-2 -frac{2}{frac{1+sqrt{21}}{10}}=(1+sqrt{21})-2-frac{20}{1+sqrt{21}}=\$
\$=frac{(1+sqrt{21})*(1+sqrt{21})-2*(1+sqrt{21})-20}{1+sqrt{21}}=frac{1+2*sqrt{21}+21-2-2*sqrt{21}-20}{1+sqrt{21}}=\$
\$frac{1+21-2-20}{1+sqrt{21}}=frac{0}{1+sqrt{21}}=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
Pro kořen \$x_2=frac{1-sqrt{21}}{10}\$:
\$L_2=10*(frac{1-sqrt{21}}{10})-2 -frac{2}{frac{1-sqrt{21}}{10}}=(1-sqrt{21})-2-frac{20}{1-sqrt{21}}=\$
\$=frac{(1-sqrt{21})*(1-sqrt{21})-2*(1-sqrt{21})-20}{1-sqrt{21}}=frac{1-2*sqrt{21}+21-2+2*sqrt{21}-20}{1-sqrt{21}}=\$
\$frac{1+21-2-20}{1-sqrt{21}}=frac{0}{1-sqrt{21}}=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
2. Řešte rovnici \$16*x^2-8*x+1=0\$
Koeficienty: \$a=16, b=-8, c=1\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-8)^2-4*16*1=64-64=0\$, budeme mít 1 dvojnásobný reálný kořen.
\$x=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{8+sqrt{0}}{2*16}=frac{1}{4}\$
Zkouška: \$L=16*(frac{1}{4})^2-8*frac{1}{4}+1=16*frac{1}{16}-2+1=1-2+1=0\$, což sedí s \$P=0\$.
3. Řešte rovnici \$25*x^2-40*x=10\$
Upravíme rovnici do obecného tvaru: \$25*x^2-40*x-10=0\$
Koeficienty jsou: \$a=25, b=-40, c=-10\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=(-40)^2-4*25*(-10)=1600+1000=2600 \gt 0\$, rovnice bude mít dva reálné kořeny.
\$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{40+sqrt{2600}}{2*25}=frac{40+10*sqrt{26}}{50}=frac{4+sqrt{26}}{5} \approx 1.82\$
\$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}=frac{40-sqrt{2600}}{2*25}=frac{40-10*sqrt{26}}{50}=frac{4-sqrt{26}}{5} \approx -0.22\$
Zkouška:
\$L_1=25*(frac{4+sqrt{26}}{5})^2-40*(frac{4+sqrt{26}}{5})=25*frac{(4+sqrt{26})^2}{25}-8*(4+sqrt{26})=16+2*4*sqrt{26}+26-32-8*sqrt{26}=\$
\$=16+26-32=10\$, což sedí s \$P_1=10\$.
\$L_2=25*(frac{4-sqrt{26}}{5})^2-40*(frac{4-sqrt{26}}{5})=25*frac{(4-sqrt{26})^2}{25}-8*(4-sqrt{26})=16-2*4*sqrt{26}+26-32+8*sqrt{26}=\$
\$=16+26-32=10\$, což sedí s \$P_2=10\$.
4. Řešte rovnici \$36-12*x+frac{3}{x}=0\$
Je to podobný typ rovnice, jako v 1. příkladu. Je jasné, že x nemůže nabývat hodnoty 0. Potřebujeme se zbavit výrazu \$frac{3}{x}\$, proto vynásobíme obě stany rovnice x.
Dostáváme: \$x*(36-12*x-frac{3}{x})=x*0\$ roznásobíme na levé straně → \$36*x-12*x^2-3=0\$
A to je kvadratická rovnice, kterou umíme řešit. Trochu ji srovnáme: \$-12*x^2+36*x-3=0\$
Koeficienty: \$a=-12, b=36, c=3\$
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=36^2-4*(-12)*3=1296+144=1440 \gt 0\$, rovnice bude mít dva reálné kořeny.
\$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=-frac{-36+sqrt{1440}}{2*12}=frac{36-sqrt{144*10}}{2*12}=frac{3*12-12*sqrt{10}}{2*12}=frac{3-sqrt{10}}{2} \approx -0.0811 \$
\$x_2=frac{-b-sqrt{D}}{2*a}=frac{-36-sqrt{1440}}{2*(-12)}=frac{3+sqrt{10}}{2} \approx 3.0811\$
Zkouška bude lehká, dosadíme vypočtené kořeny do původní rovnice:
\$L_1=36-12*(frac{3-sqrt{10}}{2})+frac{3}{frac{3-sqrt{10}}{2}}=36-6*(3-sqrt{10})+frac{6}{3-sqrt{10}}=\$ (upravíme na společný jmenovatel \$3-sqrt{10}\$)
\$=frac{36*(3-sqrt{10})-6*(3-sqrt{10})*(3-sqrt{10})+6}{3-sqrt{10}}=frac{108-36*sqrt{10}-6*(9-2*3*sqrt{10}+10)+6}{3-sqrt10}=frac{108-36*sqrt{10}-54+36*sqrt{10}-60+6}{3-sqrt{10}}=\$
\$=frac{108-54-60+6}{3-sqrt{10}}=frac{0}{3-sqrt{10}}=0\$, což sedí s \$P_1=0\$.
Obdobně pro duhý kořen:
\$L_2=36-12*(frac{3+sqrt{10}}{2})+frac{3}{frac{3+sqrt{10}}{2}}=36-6*(3+sqrt{10})+frac{6}{3+sqrt{10}}=\$ (upravíme na společný jmenovatel \$3+sqrt{10}\$)
\$=frac{36*(3+sqrt{10})-6*(3+sqrt{10})*(3+sqrt{10})+6}{3+sqrt{10}}=frac{108+36*sqrt{10}-6*(9+2*3*sqrt{10}+10)+6}{3+sqrt{10}}=frac{108+36*sqrt{10}-54-36*sqrt{10}-60+6}{3+sqrt{10}}=\$
\$=frac{108-54-60+6}{3+sqrt{10}}=frac{0}{3+sqrt{10}}=0\$, což sedí s \$P_2=0\$.
5. Napište kvadratickou rovnici, znáte-li kořeny \$K={x_1=frac{27+sqrt{249}}{48};x_2=frac{27-sqrt{249}}{48}}\$ a lineární koeficient \$b=27\$
Použijeme Vietovy vzorce: \$x_1+x_2=-frac{b}{a}\$ a \$x_1*x_2=frac{c}{a}\$
\$-frac{27}{a}=frac{27+sqrt{249}}{48}+frac{27-sqrt{249}}{48}=frac{27+sqrt{249}+27-sqrt{249}}{48}=frac{54}{48}\$ → \$a=-frac{27*48}{54}=-frac{3*3*3*4*4*3}{3*18}=-frac{3*3*2*2*2*2*3}{2*3*3}=-24\$
\$frac{27+sqrt{249}}{48}*frac{27-sqrt{249}}{48}=frac{c}{-24}\$
\$c=-24*frac{(27+sqrt{249})*(27-sqrt{249})}{48*2*24}=-5\$
Rovnice bude: \$-24*x^2+27*x-5=0\$
Zkouška Geogebrou vyšla.
Zkouška hlavou a rukama:
Diskriminant: \$D=b^2-4*a*c=27^2-4*(-24)*(-5)=249 \gt 0\$, rovnice bude mít dva kořeny.
Kořeny: \$x_1=frac{-b+sqrt{D}}{2*a}=frac{-27+sqrt{249}}{2*(-24)}=frac{27-sqrt{249}}{48}\$
\$x_2=frac{27+sqrt{249}}{48}\$